둔산동 중2수학과외
둔산동 중2수학과외에서 확인한 일차부등식의 경계
둔산동과외 수업에서 학생은 일차부등식의 답을 구한 뒤에도 해의 범위를 자주 반대로 적었다. 둔산도서관 인근 생활권과 대전탄방중학교가 포함된 지역에서 볼 수 있는 학습 사례처럼, 계산 자체보다 어느 순간 부등호 방향이 바뀌는지를 기록하는 일이 핵심이었다. 이번 문제는 다음과 같았다.
3-2x≤7을 풀고, 해가 나타내는 수의 범위를 수직선에 표시하시오.
답보다 먼저 살펴본 한 줄
학생은 양변에서 3을 빼서 -2x≤4까지 정확하게 만들었다. 이어서 칠판에 “x≤-2”라고 적고, -2보다 작은 쪽에 화살표를 그렸다. 계산 과정에서 학생은 -2로 나누었다는 표시를 남겼지만, 나눌 때 부등호가 바뀐다는 메모는 하지 않았다. 경계값 -2를 원래 식에 넣어 7≤7까지 확인했으므로 경계 자체는 찾았지만, 경계의 오른쪽과 왼쪽 중 어느 범위가 해인지 판단하는 첫 선택이 어긋난 상태였다.
풀이를 거꾸로 살펴보니 단순히 “부호를 틀렸다”가 아니었다. 학생은 양변을 -2로 나눌 때 왼쪽의 -2x만 처리하고, 오른쪽 4에는 같은 연산을 적용한다는 사실을 한 줄로 남기지 않았다. 그래서 음수로 나누는 순간 부등호가 반대가 된다는 조건이 계산에서 빠졌다.
연산을 양변에 나란히 적기
이미 맞게 처리한 과정은 그대로 두고, 나누는 줄만 바꾸었다.
3-2x≤7
-2x≤4 양변에 3을 뺌
x≥-2 양변을 -2로 나눔, 부등호 방향을 바꿈
이번에는 “-2로 나눔”을 오른쪽 4 옆에도 함께 적게 했다. 학생은 음수로 양변을 나누면 수직선에서 양 끝의 순서가 뒤집히므로 부등호도 바뀐다고 말한 뒤, -2에 점을 찍고 오른쪽을 색칠했다. 경계값만 대입하면 두 방향을 구별할 수 없으므로 -3과 0도 각각 원래 식에 넣었다. -3을 넣으면 9≤7이 되어 거짓이고, 0을 넣으면 3≤7이 되어 참이었다. 따라서 해가 x≥-2라는 것을 계산과 범위 확인으로 연결했다.
식이 아닌 조건표에서 다시 판단하기
같은 숫자를 반복하지 않고, 이번에는 “어떤 수 x에 대하여 -5보다 2배 큰 수는 1보다 작거나 같다”라는 문장을 부등식으로 바꾸었다. 학생은 먼저 -5+2x≤1이라고 적었다. 여기서 문제의 표현을 다시 읽고, “-5보다 2배 큰 수”를 2x-5로 고쳐 2x-5≤1을 세웠다. 문장 속 기준 수와 곱해지는 수의 위치를 바꿔 적지 않도록 ‘2배’에 밑줄을 긋고 ‘-5’에는 괄호를 쳤다.
양변에 5를 더해 2x≤6, 양변을 양수 2로 나누어 x≤3을 얻었다. 이번에는 나누는 수가 양수라서 부등호를 유지해야 한다고 먼저 말한 뒤 계산했다. 이어 “x가 3보다 큰가, 작은가”를 묻는 질문으로 바꾸자 학생은 경계 3을 포함하고, 2는 참인지 4는 거짓인지 직접 대입했다. 식의 모양과 질문 방향은 달라졌지만, 양변에 같은 연산을 하고 나누는 수의 부호를 확인하는 판단은 같았다.
힌트 없이 경계와 안팎을 검산하다
수업 끝에는 다음 문제를 별도 표시 없이 제시했다.
1-3x>10의 해를 구하고, 경계값을 포함하는지 설명하시오.
학생은 먼저 양변에서 1을 빼서 -3x>9라고 적었다. 곧바로 “음수 -3으로 나누므로 부등호가 바뀐다”고 말하며 x<-3을 세웠다. -3은 등호가 없는 경계이므로 해에 포함하지 않는다고 점을 비워 표시했다. 이어 -4를 원식에 넣어 13>10이 참임을 확인하고, -2를 넣어 7>10이 거짓임을 확인했다. 학생은 “경계 -3의 왼쪽 값은 참이고 오른쪽 값은 거짓이므로 x<-3이며, -3 자체는 10>10이 아니어서 제외한다”고 설명했다.
둔산동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 답을 외운 데 있지 않았다. 학생이 새 부등식을 보자마자 양변에 한 연산을 빠짐없이 적고, 나누는 수의 부호와 경계 포함 여부를 먼저 판단했다는 점에 있었다.