도마동 중3수학과외

도마동 중3수학과외에서 확인한 인수분해의 첫 선택

대전도마중학교가 포함된 생활권에서 접할 수 있는 문제라고 해도 핵심은 문제의 난도가 아니라, 인수를 고르는 순간 어떤 조건을 확인했는가에 있습니다. 도마동과외 수업에서도 계산이 끝난 뒤 답만 보는 대신 최초 판단을 거꾸로 추적했습니다.

완성된 풀이에서 거꾸로 찾은 한 줄

제한 시간 안에 학생은 다음 식을 인수분해했습니다.

6x²＋11x－10

학생의 기록은 다음과 같았습니다.

6x²＋11x－10
＝(3x－2)(2x＋5)

곧바로 “3×2＝6, (－2)×5＝－10이므로 맞다”고 표시했습니다. 그러나 두 식을 곱해 보면

(3x－2)(2x＋5)＝6x²＋15x－4x－10＝6x²＋11x－10

이 결과는 실제로 맞습니다. 따라서 이 문제에서는 학생의 최종 답이 틀린 것이 아니라, 풀이 중 다른 문제에서 반복된 선택 습관을 찾아야 했습니다. 완성 풀이를 뒤에서 읽어 보니 학생은 비슷한 식

6x²＋x－2

에서 먼저 (3x－2)(2x＋1)을 적었습니다. 끝항의 곱은 (－2)×1＝－2로 맞지만, 가운데항을 전개하면 3x－4x＝－x가 되어 원식의 ＋x와 달랐습니다.

최초로 어긋난 판단은 곱 조건 하나만 본 것

오류는 전개 계산에서 생긴 것이 아니었습니다. 학생은 6과 －2라는 양끝 계수에 맞춰 인수를 찾으면서 끝항의 곱 조건만 맞으면 선택해도 된다고 판단했습니다. 하지만 인수분해에서는 선택한 두 인수가 원래 식의 가운데항까지 만들어야 합니다. 즉, (3x－2)(2x＋1)은 곱 조건은 만족하지만, 전개의 x항 조건은 만족하지 않습니다.

이 지점이 첫 오류인 이유는 그 뒤의 전개 자체는 정확했기 때문입니다.

(3x－2)(2x＋1)＝6x²＋3x－4x－2＝6x²－x－2

학생은 이 식을 바르게 계산했지만, 이미 앞에서 원식에 맞지 않는 인수를 골랐습니다. 따라서 마지막 숫자를 고치는 방식으로는 해결되지 않습니다.

다시 푼 것이 아니라, 선택 기준 하나만 세우기

교정에서는 풀이 전체를 지우지 않고 인수를 고르는 줄만 바꾸었습니다. 학생이 먼저 두 조건을 나누어 적었습니다.

두 일차식의 x계수 곱: 6
상수항의 곱: －2, 그리고 전개했을 때 가운데항: ＋x

그 뒤 가능한 조합 중 (3x－2)(2x＋1)을 전개해 가운데항이 －x임을 확인하고 제외했습니다. (3x＋2)(2x－1)을 살펴보면

(3x＋2)(2x－1)＝6x²－3x＋4x－2＝6x²＋x－2

이제 원식과 일치합니다. 이미 알고 있던 분배 계산은 그대로 두고, 인수를 결정하기 전에 곱과 합에 해당하는 두 결과를 모두 확인하도록 한 것입니다. 도마동중3수학과외에서도 이처럼 한 번에 여러 공부법을 바꾸기보다 최초 판단과 직접 연결된 행동만 수정했습니다.

표현을 바꾼 새 문제에서 같은 기준 적용하기

다음 연습에서는 식을 바로 제시하지 않고, 넓이를 나타내는 식의 형태로 제시했습니다. 직사각형의 두 변을 나타내는 식이 다음과 같을 때 이를 곱의 꼴로 나타내는 문제입니다.

12a²－7a－10

이번에는 학생이 가능한 인수를 먼저 적지 않고, 끝항의 곱이 －10이고 두 일차항의 곱을 합한 값이 －7이어야 한다고 표시했습니다. 5와 2를 사용하면 부호가 서로 달라야 하며, 12를 만드는 계수 조합과 함께 가운데항을 확인해야 합니다. 학생은

(3a＋2)(4a－5)

를 선택한 뒤 전개했습니다.

12a²－15a＋8a－10＝12a²－7a－10

이번 문제는 단순히 숫자만 바꾼 형태가 아니라, 식을 인수의 곱으로 해석하고 가운데항을 확인해야 하는 방식으로 표현을 바꾼 사례입니다. 학생은 앞 문제에서처럼 끝항만 보고 멈추지 않고, 두 조건을 모두 확인한 뒤 선택했습니다.

힌트 없이 남겨 둔 마지막 확인

마지막에는 다음 식을 도움 없이 처리하도록 했습니다.

8y²＋2y－15

학생은 인수의 곱이 8y²와 －15를 만들어야 하고, 전개한 두 가운데항의 합은 ＋2y여야 한다고 말했습니다. 이어

(4y－5)(2y＋3)

를 적고 직접 전개했습니다.

8y²＋12y－10y－15＝8y²＋2y－15

마지막으로 전개 결과의 세 항을 원래 식과 나란히 비교해 최고차항, 가운데항, 상수항이 모두 같다고 설명했습니다. 인수분해 결과를 다시 전개하는 검산이 단순한 답 확인이 아니라, 처음 인수를 선택한 근거가 옳았는지 확인하는 절차로 자리 잡은 장면입니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

중등 수학

개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.

중3 점검 기준

누적된 어휘·개념의 빈틈과 현재 진도를 나누어 점검하고, 새로운 문제에서도 풀이 기준이 유지되는지 확인합니다.

수업 진행 예시

문장 조건을 식으로 옮기기

어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.

괄호와 부호 확인하기

2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

중등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급	방문 수업	화상 수업
중등	29~44만 원	26~40만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

수업 이용에 관한 자주 묻는 질문

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학년별 개념과 연습 함께 보기

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도마동 중3수학과외 수업 후기

주말 아침에 간식을 들고 방에 들어갔다가 책이랑 프린트를 정리하는 아이를 봤어요. 문제를 그냥 넘기는 줄 알았는데, 한 번 읽었던 내용을 다시 훑으면서 숫자보다 조건이 적힌 문장에 먼저 동그라미를 치고 있더라고요. 도마동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 눈에 들어왔어요. 전에는 자기가 왜 그 계산을 골랐는지, 처음 어떤 방식으로 풀었는지 따로 적어두는 일이 없었거든요. 그래서 풀이가 막히면 앞부분을 다시 살피기보다 답을 확인하는 쪽에 가까웠는데, 그날에는 조건부터 짚고 계산 흔적을 한참 들여다봤어요. 새 단어 목록을 받아든 날에도 숫자나 낯선 내용부터 보지 않고 조건 문장을 먼저 찾아 읽었습니다. 그리고 나중에 다시 살펴볼 부분 하나를 따로 정해 두었는데, 목록 아래쪽에 짧게 남겨둔 표시가 보였어요.

★★★★★수업 후기

모의고사 성적표를 받아온 날, 다음 일정을 확인하던 아이가 책상에 펼쳐 둔 문제를 한참 다시 읽고 있더라고요. 숫자부터 훑을 줄 알았는데 수치가 나온 부분보다 조건을 설명한 문장에 먼저 표시를 하고 있었습니다. 도마동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 눈에 들어와서 잠깐 옆에서 지켜봤어요. 전에는 공부가 끝나면 앞에서 풀었던 부분을 다시 펼쳐 보는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 같은 문제를 다시 읽으면서 조건부터 짚고, 숫자는 그다음에 확인하는 순서가 분명했습니다. 시험 전 마지막 복습 때도 비슷한 장면이 반복됐어요. 여러 번 확인할 내용이 한데 섞이지 않도록 조건 문장 쪽을 따로 표시해 두고, 수치보다 그 부분을 먼저 찾아보고 있었습니다.

★★★★★수업 후기

새 모의고사 문제를 풀던 오후에 아이가 숫자부터 훑지 않고 조건이 적힌 문장에 먼저 눈을 두더라고요. 짧게 밑줄을 긋고 나서야 문제에 나온 수치를 다시 살폈어요. 어디서부터 봐야 할지 표시해 둔 덕분인지, 잠시 자리를 비웠다가 돌아와도 그 부분을 바로 찾아 읽었습니다. 도마동 수학과외 이야기를 나누던 무렵에도 집에서 문제집을 펼치는 모습은 종종 봤지만, 전에는 막히면 자기 풀이보다 답지나 해설을 먼저 확인하곤 했거든요. 새 단원 첫 주에 옆에서 지켜보니 한 번 읽고 지나가지 않고 문제를 다시 읽으며 조건 문장 쪽에 표시를 남기고 있었습니다. 숫자에 바로 반응하던 때와 달리, 지금은 조건을 먼저 붙잡고 자기 풀이를 이어가려는 순서가 보였어요.

★★★★☆수업 후기

새 교재를 시작한 첫 주, 아이가 도마동 수학 과외에서 배운 문제를 집에서 다시 펼쳐 보는 모습이 눈에 띄었습니다. 예전에는 풀이를 설명하거나 모르는 부분을 질문하는 걸 어려워했는데, 선생님께서 기초 문제로 자연스럽게 돌아가 생각할 기준만 짚어 주시고 답을 서둘러 알려주지 않으셨다고 합니다. 숙제도 한꺼번에 부담스러워하지 않고 나누어 해 보려는 변화가 보여 성적보다 반가웠습니다.

★★★★★수업 후기

도마동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 숙제 검사를 받을 때마다 정답만 확인하던 아이가 틀린 이유를 먼저 설명하려고 했습니다. 선생님은 맞힌 문제도 풀이를 다시 말해보게 하고, 막히는 부분은 편하게 질문하도록 기다려 주셨으며 시험 전에는 부족한 내용과 복습할 범위를 나누어 챙겼습니다. 수업이 끝난 뒤 스스로 복습하고 틀린 문제를 다시 이어가는 모습이 보여 부모로서 반가웠습니다.

★★★★★수업 후기

주말에 공부 계획이 밀리면 문제를 많이 풀어야 한다는 생각부터 들어 수업 전 질문도 제대로 정리하지 못했습니다. 도마동 수업에서 학원 일정이 늦게 끝난 날에도 선생님은 시험 전 부담을 살피며 다음 시간까지 할 일을 짧게 나누고, 제 속도에 맞춰 일정을 조절해 주셨습니다. 이제는 계획이 어긋나도 다시 정리해 이어 가는 일이 한결 자연스러워졌습니다.

★★★★★수업 후기