도마동 중2수학과외

도마동 중2수학과외에서 되짚어 본 일차부등식의 부호

도마동과외 수업에서 학생은 친구가 풀어 둔 일차부등식 풀이를 보고 어디서 답의 방향이 달라졌는지 찾아보기로 했다. 대전도마중학교가 포함된 생활권과 가수원도서관 인근 생활권에서 자주 접하는 문장형 문제도 결국 식을 세운 뒤 부등식의 방향을 정확히 읽는 과정이 중요했다.

답보다 앞선 한 줄을 찾다

문제는 다음과 같았다.

3 - 2x < 9를 풀어라.

학생은 친구의 풀이를 아래에서부터 거꾸로 읽었다.

3 - 2x < 9
-2x < 6
x > -3

마지막 줄의 x > -3을 원래 식에 넣어 보니 x=0에서는 3<9가 맞았지만, x=-4에서는 11<9가 되어 맞지 않았다. 학생은 곧바로 마지막 답을 지우지 않고, 각 줄이 앞줄에서 어떻게 나왔는지 손가락으로 연결했다. -2x<6에서 x>-3으로 넘어갈 때 -2로 나누었으므로 부등호가 바뀐 것 자체는 맞았다. 그러나 첫 줄에서 둘째 줄로 갈 때 3을 양변에서 뺀 과정은 정확했고, 실제로는 x>-3이 아니라 x<-3이어야 한다는 점에서 혼란이 생겼다.

학생은 같은 식을 직접 다시 쓰며 부호를 확인했다.

3 - 2x < 9
-2x < 6
양변을 -2로 나누므로 부등호 방향을 반대로 바꿈
x > -3

그런데 x=0을 대입했을 때 원래 식은 참이었다. 따라서 x=0이 포함되는 x>-3이 맞고, 앞선 검산에서 x=-4를 넣어 거짓이 나온 것은 해의 범위 밖 값을 넣었기 때문이었다. 학생이 처음 잘못 선택한 판단은 해의 범위 안팎을 구분하지 않은 채 검산값을 고른 것이었다. 계산 줄의 부호가 아니라 검산할 수를 고르는 순간 풀이가 어긋난 셈이다.

검산값을 고르는 기준을 바로 세우다

교정은 하나로 좁혔다. 경계값 -3을 먼저 표시하고, 부등식이 말하는 쪽의 값과 반대쪽 값을 각각 고르도록 했다. x>-3이면 -3보다 큰 0과 작은 -4를 나누어 대입한다.

x=0: 3 - 2×0 = 3, 3<9이므로 해의 범위에 들어감
x=-4: 3 - 2×(-4) = 11, 11<9가 아니므로 해의 범위 밖

이 과정을 거친 뒤 학생은 부등호가 바뀌는 줄에는 빨간 표시를 하고, 검산할 때는 경계값을 기준으로 양쪽에서 하나씩 고르기로 했다. 이미 맞게 계산한 이항 과정은 그대로 두고, 잘못 고른 검산 판단만 고쳤다.

표현이 바뀐 문제에서 다시 판단하기

다음 문제에서는 식을 바로 주지 않고 수직선 설명으로 제시했다.

수직선에서 -2에 열린 점을 찍고 오른쪽을 나타내는 해를 일차부등식으로 쓰고, 그 해가 4 - 3x > 10의 해와 같은지 판단하시오.

학생은 먼저 수직선의 열린 점을 보고 x>-2라고 적었다. 이어 식을 풀었다.

4 - 3x > 10
-3x > 6
음수 -3으로 나누므로 부등호 방향을 바꾸어 x<-2

두 결과가 서로 반대임을 확인한 학생은 식의 답을 억지로 수직선에 맞추지 않았다. -2를 경계로 잡고 x=-1과 x=-3을 각각 대입했다. x=-1이면 7>10이 거짓이고, x=-3이면 13>10이 참이므로 식의 해는 왼쪽인 x<-2였다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 수직선의 방향, 열린 점의 의미, 질문의 비교 방식이 달라졌지만 학생은 경계와 양쪽 검산을 사용해 판단했다.

힌트 없이 재현한 최종 확인

수업 끝에는 다음 문제만 제시하고 풀이 중간에 질문을 넣지 않았다.

2(x-1) ≥ 5x+8의 해를 구하고, 경계값을 원래 부등식에 대입하여 확인하시오.

학생은 먼저 괄호를 풀어 2x-2≥5x+8이라고 적었다. 양변에서 2x를 빼면 -2≥3x+8, 8을 빼면 -10≥3x가 된다. 양변을 양수 3으로 나누어 -10/3≥x, 즉 x≤-10/3이라고 정리했다. 이번에는 부등호가 바뀌지 않은 이유를 “마지막으로 나눈 수가 양수이기 때문”이라고 설명했다.

경계값 x=-10/3을 원식에 넣어 양변이 모두 -26/3임을 확인하고, 범위 안의 x=-4에서는 왼쪽 -10, 오른쪽 -12이므로 -10≥-12가 참이라고 말했다. 범위 밖의 x=-3에서는 왼쪽 -8, 오른쪽 -7이므로 거짓이라고 덧붙였다. 이전처럼 임의의 값 하나만 넣지 않고 경계값과 양쪽 값을 스스로 선택해 근거까지 설명한 장면에서 일차부등식의 부호 판단이 실제 풀이로 재현되었다. 도마동중2수학과외에서도 이처럼 답만 확인하지 않고, 부호가 바뀐 줄과 검산 범위를 함께 확인한다.