신탄진동 중2수학과외

답보다 먼저 거꾸로 읽은 부등식 풀이

신탄진동의 대전대청중학교가 포함된 생활권에서 진행한 중2수학과외 수업 중, 학생이 가져온 일차부등식 오답을 함께 살폈습니다. 완성된 풀이를 뒤에서부터 읽으며 결과가 틀어지기 시작한 최초의 줄을 찾는 일이 먼저였습니다.

마지막 계산에서 한 줄씩 되짚기

학생의 풀이에는 다음과 같은 식이 적혀 있었습니다.

−3x < 12
−3x ÷ (−3) < 12 ÷ (−3)
x < −4

학생은 마지막에 x=−5를 대입해 −3×(−5)=15가 12보다 작은지 확인하려 했습니다. 15<12가 아니어서 답이 이상하다는 점은 발견했지만, 곧바로 마지막 부호만 고치려 했습니다. 학생에게 풀이의 마지막 줄을 가리고, 바로 앞의 두 식이 서로 같은 뜻인지 손가락으로 짚어 보게 했습니다. 학생은 −3으로 나누었을 때 양변에 같은 계산을 했다는 사실만 확인하고 넘어가려 했습니다.

그러나 오류는 x<−4라는 마지막 결과가 아니었습니다. 음수로 양변을 나누는 순간에도 부등호 방향을 그대로 둔 판단이 처음 어긋난 지점이었습니다. 그 뒤에 x값을 대입하고 답을 고치는 것은 이미 잘못된 방향 위에서의 작업이었습니다.

처음 어긋난 줄만 바로잡기

이미 맞게 처리한 항을 다시 계산하지 않고, 그 한 줄에 표시를 붙였습니다.

• 양변을 양수로 곱하거나 나누면 부등호 방향은 그대로 둔다.
• 양변을 음수로 곱하거나 나누면 부등호 방향을 반대로 바꾼다.

따라서 학생의 식은 다음처럼 이어져야 했습니다.

−3x < 12
−3x ÷ (−3) > 12 ÷ (−3)
x > −4

교정 직후 학생은 경계값 −4를 원래 식에 직접 넣었습니다. −3×(−4)=12가 되어 12<12가 아니라는 점을 확인하고, 등호가 포함되지 않은 부등식에서는 −4가 답에 들어가지 않는다고 말했습니다. 이어 x=−5를 넣으면 15<12가 거짓이고, x=0을 넣으면 0<12가 참이므로 x>−4의 방향이 원래 식과 맞는다고 검산했습니다. 전체 풀이를 다시 쓰지 않고도 최초 오류와 경계의 의미를 연결한 장면이었습니다.

식이 아닌 문장과 수직선으로 바꿔 보기

같은 판단을 숫자만 바꾸어 반복하지 않도록 표현을 바꿨습니다. 다음 문장을 읽고 식을 세우게 했습니다.

어떤 수에 −2를 곱한 값이 8보다 크거나 같다.

학생은 먼저 −2x≥8이라고 적은 뒤, 양변을 −2로 나눌 때 방향을 바꾸어 x≤−4라고 설명했습니다. 이번에는 식을 바로 계산하지 않고 수직선에 −4를 표시했습니다. ‘−4보다 작은 수를 넣으면 −2를 곱한 값은 8보다 커진다’고 말하며 왼쪽을 색칠했고, −4에는 포함 표시를 붙였습니다. 문장의 ‘크거나 같다’가 등호를 포함시키는 조건이라는 것도 수직선의 점 모양으로 확인했습니다.

또 다른 문제에서는 풀이 중간의 나눗셈 기호를 가리고, 다음 결과만 보여 주었습니다.

x ≤ 6

학생은 이 결과가 나오려면 음수로 나눈 단계에서 방향이 뒤집혔을 가능성을 먼저 살폈습니다. 원래 식이 −4x≥−24라면 −4로 나누면서 x≤6이 된다고 설명했고, x=6을 대입해 양변이 모두 −24가 되는지 확인했습니다. 식, 문장, 수직선, 거꾸로 읽기를 오가면서도 판단의 기준은 ‘나누는 수의 부호’ 하나로 유지했습니다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

수업 끝 무렵에는 풀이 중간을 가리지 않은 새 문제를 제시했습니다.

5−2x > 13

학생은 먼저 양변에서 5를 빼 －2x>8로 만든 뒤, “이제 −2로 나누므로 부등호를 반대로 바꿔 x<−4”라고 첫 판단을 스스로 말했습니다. 이어 x=−5를 대입해 5−2×(−5)=15가 13보다 크고, x=0을 넣으면 5>13이 거짓임을 확인했습니다. 경계값 −4에서는 양변이 13으로 같아 등호 없는 답에 포함되지 않는다고 설명했습니다.

대전 지역의 대전대청중학교 관련 시험 대비를 위한 대전과외를 찾는 경우에도, 이런 식으로 오답의 첫 판단을 추적하는 대전중2수학과외 과정은 부등식 풀이를 실제 행동으로 점검하는 데 초점을 둡니다.