신탄진동 중1수학과외
항의 종류를 가려내며 다시 세운 동류항 풀이
신탄진동과외 수업에서 단원평가 직전 학생이 가져온 오답은 계산 실수처럼 보였지만, 실제로는 식을 읽는 첫 순간부터 풀이 방향이 달라진 경우였다. 대전대청중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 문장형 문제와 괄호가 있는 식을 연결해 살펴보면서, 신탄진도서관 인근 생활권의 학습 사례로 정리해 보았다.
틀린 답보다 먼저 확인한 한 줄
학생은 다음 식을 보고 공책에 곧바로 계산을 시작했다.
3a+2b-5a+4b
적은 과정은 3a+2b=5ab, 이어서 5ab-5a+4b였다. 학생은 숫자끼리 더하고 문자도 함께 붙이면 된다고 생각했다. 이때 답 전체가 틀어진 것이 아니라, 가장 먼저 어긋난 판단은 각 항이 서로 합쳐질 수 있는지 확인하지 않은 것이었다. 3a와 2b는 문자 부분이 다르고, 5a와 4b도 각각 a와 b가 달라 동류항이 아니다.
풀이를 거꾸로 추적하기 위해 계산을 잠시 멈추고 식을 항별로 세로로 나누었다.
- 3a와 -5a: 문자 부분이 a로 같으므로 한 묶음
- 2b와 4b: 문자 부분이 b로 같으므로 한 묶음
- 각 묶음 안에서는 계수와 부호만 계산
따라서 3a-5a=-2a, 2b+4b=6b이고, 정리한 식은 -2a+6b가 된다. 처음 잘못 적은 5ab는 a와 b를 곱한 항이므로 원래 식에 없던 형태라는 점도 함께 표시했다. 이미 맞게 읽은 항의 순서는 유지하고, 합칠 수 있는 항의 기준만 바로잡은 것이다.
식의 모양이 달라져도 같은 기준을 적용하기
다음 문제에서는 계산식 대신 문장으로 조건을 제시했다.
어떤 수 a의 세 배와 어떤 수 b의 두 배를 더한 뒤, a의 한 배를 빼고 b의 네 배를 더한 식을 간단히 나타내시오.
학생은 문장을 읽으며 먼저 3a+2b-a+4b라고 옮겨 적었다. 이번에는 바로 묶지 않고 a가 붙은 항에는 파란 밑줄, b가 붙은 항에는 빨간 밑줄을 그었다. a 항은 3a와 -a, b 항은 2b와 4b였다. 그래서 3a-a=2a, 2b+4b=6b를 계산해 2a+6b를 얻었다.
문장식과 함께 괄호식도 제시했다.
2(a+b)+a+3b
학생은 괄호를 먼저 풀어 2a+2b+a+3b로 바꾼 뒤, a끼리와 b끼리만 모았다. 결과는 3a+5b였다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 문장과 괄호라는 다른 표현을 거쳐도 항의 문자 부분과 부호를 먼저 확인해야 한다는 점을 보여 주는 적용이었다.
조건의 순서를 바꾼 문제에서 스스로 판단하기
힌트를 가린 뒤에는 다음과 같이 조건을 먼저 읽는 문제를 풀게 했다.
식 4x-3y+2x+y에서 x가 붙은 항과 y가 붙은 항을 각각 정리하고, 항을 쓰는 순서는 y항을 먼저 하시오.
학생은 x항에 표시를 하고 4x+2x=6x, y항에 표시해 -3y+y=-2y를 계산했다. 질문에서 요구한 순서에 따라 최종 답을 -2y+6x로 적었다. 항의 종류를 판별하는 과정과 결과를 배열하는 과정이 다르다는 것도 말로 설명했다.
검산은 숫자 하나를 정해 원래 식과 정리한 식에 각각 넣는 방식으로 진행했다. x=1, y=2를 대입하면 원래 식은 4-6+2+2=2이고, 정리한 식은 -4+6=2였다. 두 값이 같으므로 항을 잘못 합치지 않았음을 확인했다. 앞서 틀렸던 식에도 a=1, b=2를 넣어 보면 원래 식은 3+4-5+8=10이지만 학생이 적은 5ab-5a+4b는 10-5+8=13이 되어 서로 다르다는 점까지 스스로 찾아냈다.
주말 누적 복습에서는 도움 없이 문장식, 괄호식, 항의 순서를 바꾼 식을 차례로 읽고, “문자 부분이 같은 항끼리만 부호를 포함해 계산하며, 정리 뒤에는 간단한 값을 넣어 원래 식과 비교한다”고 설명했다. 신탄진동중1수학과외에서 확인한 성장은 답을 맞힌 결과보다, 첫 판단을 다시 세우고 같은 개념을 새로운 표현에서도 재현한 과정에 있었다.