대구 중3수학과외

대구 중3수학과외, 제곱한 결과로 제곱근을 확인하는 풀이

대구과외에서 중3 학생의 제곱근 단원을 함께 살펴보던 중, 계산 자체보다 앞선 판단에서 답이 달라지는 장면이 있었습니다. 캐슬골드파크와 월성주공2단지, 꿈꾸는도서관 인근 생활권에서 중학교 수학을 공부하는 학생이라면 익숙하게 만날 수 있는 유형입니다. 이번에는 대구동중학교가 포함된 생활권의 중3수학 문제를 가정해, 제곱근을 고를 때 무엇을 먼저 확인해야 하는지 한 문제 안에서 점검했습니다.

답을 쓰기 전, 학생이 남긴 표시

문제는 다음과 같았습니다.

25의 제곱근을 모두 구하고, √25의 값을 쓰시오.

학생은 문제에서 ‘제곱근’에 밑줄을 긋고 옆에 ‘제곱해서 25가 되는 수’라고 적었습니다. 여기까지는 문제의 대상을 정확히 읽은 것입니다. 이어서 공책에 다음과 같이 썼습니다.

5×5=25이므로 25의 제곱근은 5, √25=5

뒤의 √25=5는 맞았지만, 앞의 ‘25의 제곱근은 5’라는 답은 하나를 빠뜨렸습니다. 학생은 숫자 25에서 가장 익숙하게 연결되는 5를 바로 선택한 뒤, -5를 후보로 확인하지 않았습니다. 따라서 단순히 계산을 틀린 것이 아니라, 제곱근을 결정하는 첫 기준을 ‘모양이 익숙한 수인지’로 정한 것이 먼저 어긋난 판단이었습니다.

계산을 고치기보다 후보를 제곱하다

이때 이미 맞은 계산 5×5=25를 지우지 않았습니다. 대신 질문을 한 단계 앞에서 다시 읽었습니다. ‘25의 제곱근’은 25를 제곱해서 만드는 수가 아니라, 제곱했을 때 25가 되는 수를 찾는 말입니다. 그래서 가능한 두 수를 적고 각각 확인했습니다.

5²=25
(-5)²=(-5)×(-5)=25

두 후보 모두 제곱한 결과가 25이므로 25의 제곱근은 5와 -5입니다. 반면 √25는 기호의 약속에 따라 두 값 중 양의 값인 5를 뜻하므로, 두 질문의 답을 같은 방식으로 쓰면 안 됩니다. 이 설명은 새로운 계산법을 추가한 것이 아니라, 문제에 나온 수를 제곱해 원래 수가 되는지 확인하는 기준을 정확히 적용한 것입니다.

학생은 교정 뒤 풀이를 다음처럼 짧게 정리했습니다.

제곱근은 제곱해서 25가 되는 수이다.
5²=25, (-5)²=25이므로 25의 제곱근은 5, -5이다.
따라서 √25=5이다.

처음 적었던 5²=25라는 계산은 그대로 살리고, 빠졌던 후보 -5를 같은 방식으로 확인한 점이 핵심입니다. 대구중3수학과외에서 이 유형을 다룰 때도 풀이를 길게 늘리기보다, 답을 고르기 전에 ‘이 수를 제곱하면 문제의 수가 되는가?’를 실제 식으로 남기는 데 집중합니다.

질문의 방향이 바뀌어도 같은 기준으로

다음 문제에서는 표현을 바꾸었습니다.

어떤 수를 제곱했더니 81이 되었다. 가능한 수를 모두 쓰시오. 또 81의 양의 제곱근을 쓰시오.

이번에는 ‘81에서 제곱근을 찾는’ 문장이 아니라, 제곱한 결과가 81이라는 조건에서 원래 수를 찾는 형태입니다. 학생은 9만 적지 않고 먼저 후보를 세웠습니다.

9²=81
(-9)²=81

따라서 가능한 수는 9와 -9이고, 양의 제곱근은 9라고 답했습니다. 숫자만 바꾼 반복이 아니라, ‘원래 수에서 제곱근을 찾는 문제’와 ‘제곱한 결과에서 원래 수를 찾는 문제’를 바꾸어도 같은 확인 절차를 유지하는지 살핀 것입니다. 이때도 다른 단원의 공식이나 근삿값을 끌어오지 않고, 제곱과 원래 수의 관계만 사용했습니다.

힌트 없이 남긴 마지막 풀이

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 제시했습니다.

다음 빈칸에 들어갈 수를 모두 쓰고, 이어서 √144의 값을 구하시오.
(□)²=144

학생은 잠시 숫자 모양을 보더니 바로 12를 쓰지 않고, 공책에 먼저 ‘제곱해서 144가 되는 후보’라고 적었습니다. 그리고

12²=144, (-12)²=144

라고 확인한 뒤 빈칸에는 12와 -12를 썼습니다. 이어 √144에 대해서는 ‘양의 값만 쓰므로 12’라고 설명했습니다. 마지막으로 (-12)×(-12)=144이므로 음수를 빠뜨리지 않았고, 12×12=144이므로 두 후보가 모두 조건을 만족한다고 검산했습니다.

새 문제에서도 학생이 스스로 선택한 기준은 숫자의 생김새가 아니라 제곱 결과였습니다. 제곱근을 물으면 후보를 각각 제곱해 원래 수와 같은지 확인하고, √ 기호가 나오면 그중 양의 값을 구한다는 판단이 힌트 없이 재현된 것입니다.