대구 중1수학과외

대구 중1수학과외에서 이어 간 소수와 합성수 판별

캐슬골드파크와 월성주공2단지가 있는 생활권, 대구동중학교와 조암중학교가 포함된 지역에서 진행한 수업에서는 소수와 합성수의 구별을 한 사건처럼 이어 갔다. 문제는 “다음 수를 소수와 합성수로 나누고, 합성수는 곱셈으로 나타내어 보자”였다. 숫자만 보고 빠르게 답하는 대신, 어떤 수가 소수인지 판단하는 근거를 남기는 데 초점을 맞췄다.

학생이 적은 첫 풀이와 빠진 조건

학생은 17, 21, 29, 35를 보고 종이에 바로 다음처럼 적었다.

• 17은 홀수이므로 소수
• 21은 3×7이므로 합성수
• 29는 홀수이므로 소수
• 35는 5×7이므로 합성수

21과 35의 판단은 곱셈으로 확인했지만, 17과 29에서는 ‘홀수’라는 특징만 보고 소수라고 결정했다. 여기서 풀이가 어긋나기 시작했다. 홀수라는 사실만으로는 다른 수의 곱으로 나타낼 수 없는지 확인할 수 없기 때문이다. 소수는 1과 자기 자신 이외의 약수가 없는 수이고, 합성수는 1과 자기 자신 외에도 약수를 가지는 수라는 조건을 먼저 읽어야 했다.

한 줄의 판단을 조건 확인으로 바꾸기

기존의 곱셈 계산은 그대로 유지하고, 소수로 표시한 수에도 나누어지는 수가 있는지 확인하는 절차를 덧붙였다. 학생은 17에 대해 2, 3, 4로 나누어떨어지는지 살펴본 뒤, 1과 17 외의 약수가 없음을 적었다. 29도 2, 3, 4, 5로 나누어떨어지지 않는지 확인하고 같은 결론을 냈다. 반대로 21은 3×7, 35는 5×7로 나타나므로 1과 자기 자신 외의 약수가 있다는 점을 문장으로 설명했다.

홀수인지 먼저 보는 것은 참고할 수 있지만, 소수인지 결정하려면 다른 곱셈으로 나타낼 수 없는지 확인해야 한다.

그다음에는 수가 곱셈 형태로 제시된 문제를 만났다. “2×9, 3×5, 1×23 중 합성수를 나타내는 식을 고르라”는 질문이었다. 학생은 식만 보고 2×9를 합성수, 3×5를 합성수라고 표시했지만 1×23은 잠시 보류했다. 이때 곱셈 결과를 실제 수로 되돌려 원래 수와 비교하게 했다. 2×9는 18, 3×5는 15이므로 각각 다른 두 수의 곱으로 나타나는 합성수다. 1×23은 23을 다시 나타낸 것일 뿐, 1과 자기 자신 외의 약수를 보여 주는 곱셈이 아니므로 23은 소수로 분류했다.

표현을 바꾼 독립 적용

같은 개념을 숫자 목록으로 반복하지 않고, 이번에는 문장 속 조건을 표로 옮겼다. “약수가 1과 자기 자신뿐인 수는 빈칸에 소수라고 쓰고, 두 수의 곱으로 나타낼 수 있는 수는 합성수라고 쓰시오”라는 문제에서 학생은 먼저 표의 각 수 옆에 ‘약수 확인’ 칸을 만들었다.

• 11: 1과 11만 확인되어 소수
• 16: 2×8, 4×4로 나타나 합성수
• 19: 1과 19 외의 약수가 없어 소수
• 27: 3×9로 나타나 합성수

특히 16을 2×8로만 적고 끝내지 않고, 곱셈의 결과가 원래 수 16인지 되돌려 확인했다. 27도 3×9를 계산해 27과 일치하는지 확인한 뒤 합성수라고 썼다. 문제의 질문이 “합성수를 고르시오”에서 “소수인 수를 모두 쓰고 이유를 설명하시오”로 바뀌자, 학생은 분류 결과를 그대로 옮기지 않고 11과 19에 대해 약수 조건을 문장으로 다시 작성했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 끝에는 새로운 수 23, 25, 31, 33이 제시되었다. 별도의 표시나 풀이 순서 안내 없이 학생은 먼저 각 수가 다른 두 수의 곱으로 표현되는지 살폈다. 25는 5×5, 33은 3×11로 적어 합성수로 분류했다. 23과 31은 가능한 약수를 확인한 뒤, 1과 자기 자신 외에는 나누어떨어지지 않으므로 소수라고 설명했다.

학생은 마지막 답안에 “23은 다른 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 없고, 31도 같은 이유로 소수이다. 25=5×5, 33=3×11이므로 합성수이다”라고 적었다. 이어 각 곱셈을 다시 계산해 25와 33으로 돌아오는지 검산했다. 처음의 ‘홀수이면 소수’라는 판단 대신, 제시된 수를 곱셈과 약수 조건으로 확인하고 그 근거를 답안에 남긴 것이다. 이러한 방식은 대구과외 수업에서 문제의 표현이 달라져도 같은 개념을 스스로 재현하는 과정으로 이어졌으며, 대구중1수학과외에서도 소수와 합성수를 구별하는 핵심 기준을 분명히 보여 준다.