달성군 중2수학과외

달성군 중2수학과외에서 확인한 유한소수와 무한소수의 판단

달성군과외 수업에서 학생은 유리수를 소수로 나타낼 때 계산 결과만 보고 유한소수인지 판단하려 했다. 성서5차산업단지와 죽곡대실역한신플러스 아파트가 있는 생활권, 그리고 유가중학교·왕선중학교·포산중학교 등이 포함된 지역에서 중2수학과외를 진행하며 살펴본 장면은 단순한 계산 실수와 달랐다. 학생은 소수점 아래 숫자가 반복되는지 확인하는 과정에서 순환마디의 시작점을 잘못 잡고 있었다.

나눗셈 기록에서 드러난 첫 판단

문제는 7/12를 소수로 나타내고 유한소수인지 무한소수인지 설명하시오였다. 학생은 7을 12로 나누고, 몫의 소수 첫째 자리부터 차례로 적었다. 나머지 10에 10을 곱해 100을 만들고 8을 적은 뒤 나머지 4를 표시했다. 다시 40을 만들자 3을 적고 나머지가 4로 돌아왔다. 학생의 계산에는 다음과 같이 적혀 있었다.

7÷12=0.58…
반복되는 숫자는 8부터이므로 0.5̇8̇이라고 표시

학생은 나머지 4가 다시 나타난 것은 알아차렸지만, 반복 구간을 ‘8’ 하나로만 정했다. 실제 소수 전개는 0.58333…이므로 반복되는 부분은 3이다. 결과가 틀렸다고 말하기 전에 살펴볼 최초의 잘못은 나머지가 되풀이된 위치가 아니라, 직전에 적은 숫자까지 순환마디로 묶으려 한 판단이었다.

반복의 시작을 나머지로 고정하기

이미 맞게 계산한 나눗셈 과정은 지우지 않고, 각 단계의 나머지 옆에 소수 자리 숫자를 다시 대응시켰다. 학생은 7에서 시작해 나머지 10, 4를 순서대로 적고, 나머지 4에서 다시 나머지 4가 나온 부분에 같은 표시를 붙였다.

• 나머지 10에서 8을 적음
• 나머지 4에서 3을 적음
• 다시 나머지 4가 나오므로 그 뒤의 3이 반복됨

교정은 한 가지 기준으로 정리했다. 같은 나머지가 다시 나타나면, 그 나머지에서 만들어진 소수 자리부터 반복된다고 본다. 따라서 7/12=0.58333…이고, 순환마디는 3이다. 학생은 순환마디의 앞과 뒤를 임의로 고르는 대신, 나머지의 재등장을 기준으로 삼아야 한다는 것을 자신의 계산 줄에 직접 표시했다.

표기 대신 자리값 질문으로 바꾼 적용

다음 문제에서는 표현을 바꾸었다. 13/24를 소수로 나타낼 때 소수점 아래 셋째 자리 이후에 같은 숫자가 반복되는지, 반복이 시작되는 자리와 유한소수 여부를 쓰시오라는 질문이었다. 학생은 바로 순환점을 찍지 않고 나눗셈 표를 만들었다.

• 13을 24로 나누어 첫째 자리 5, 나머지 8
• 80을 24로 나누어 둘째 자리 3, 나머지 8
• 같은 나머지 8이 다시 나와 셋째 자리부터 3이 반복됨

학생은 13/24=0.541666…이라고 적고, 소수점 아래 셋째 자리의 6부터 반복된다고 설명했다. 질문이 순환소수 표기를 요구하지 않았지만, 반복되는 자리를 먼저 찾은 뒤 유한소수인지 판단하는 순서는 그대로 유지했다. 이번에는 숫자만 바꾼 것이 아니라, 순환점을 표시하는 대신 자리값을 묻는 문제로 바꾸어 판단 기준을 적용했다.

유한소수에서는 반복 여부를 반대로 확인하다

또 다른 식은 9/40이었다. 학생은 나눗셈을 시작하기 전부터 분모 40을 보고 무조건 반복소수일 것이라고 말하려 했다. 그러나 앞에서 정한 기준에 따라 나머지를 기록했다. 9를 40으로 나누면 0.2가 되고 나머지는 10, 다시 100을 만들면 2를 적고 나머지가 20, 한 번 더 계산하면 5를 적고 나머지가 0이 된다.

학생은 나머지가 0이 되면 같은 나머지가 되풀이되는 것이 아니라 나눗셈이 끝난다고 적었다. 그래서 9/40=0.225이며 유한소수라고 판단했다. 소수점 뒤 숫자가 두 자리라는 결과만 이용하지 않고, 나머지 0이라는 계산 근거를 함께 남겼다.

힌트 없이 다시 세운 첫 줄

한 주 뒤 새 문제로 11/30이 제시되자 학생은 설명을 기다리지 않았다. 먼저 “나머지가 다시 나오는지 기록하겠다”고 말한 뒤 11을 30으로 나누어 0.3을 만들고, 나머지 20에서 6을 적었다. 다시 나머지 20이 나오자 6이 반복된다고 판단하여 11/30=0.3666…으로 정리했다.

학생은 검산도 스스로 진행했다. 소수 전개에서 반복마디를 6으로 잡았으므로 실제 나눗셈에서 나머지 20이 반복되어야 하며, 계산표에 같은 나머지가 두 번 나타났다는 점을 근거로 들었다. 이어 0.36처럼 반복을 끝내 적으면 11/30과 달라진다고 말하며, 반복 표시가 필요한 이유까지 설명했다. 처음 문제에서 늦게 잡았던 순환마디의 시작을 이번에는 첫 나머지 기록 단계에서 정확히 선택했다.