달성군 중1수학과외
곱셈 형태가 바뀌어도 소수와 합성수 구별하기
달성군과외 수업에서 학생이 소수와 합성수를 구별하는 과정을 살펴보았다. 성서5차산업단지와 죽곡대실역한신휴플러스 아파트가 있는 생활권, 다사중학교가 포함된 지역에서 자주 만나는 중1 문제는 “제시된 수가 소수인지 합성수인지 판단하고 이유를 쓰시오”처럼 조건을 짧게 제시하는 형태였다.
학생은 문제에서 29, 35, 49를 보고 익숙한 예제 순서를 떠올렸다. 29에는 ‘소수’, 35에는 ‘합성수’라고 적었지만, 49 옆에는 바로 ‘소수?’라고 표시했다. 49를 7×7로 바꿔 쓸 수 있다는 점은 알고 있었으나, 눈에 보이는 숫자의 모양을 먼저 보고 판단한 것이다.
오답의 출발점을 한 줄씩 되짚다
틀린 결과보다 먼저 확인한 것은 학생이 어떤 판단을 처음 했는지였다. 학생은 49를 보자마자 “7이 두 번 나오지만 같은 수를 두 번 쓰는 것은 인수로 세지 않는다”고 생각했다. 바로 이 판단에서 풀이가 어긋났다. 합성수는 1과 자기 자신 이외의 약수를 가지는 수이며, 같은 수를 곱한 경우도 분명히 두 수의 곱으로 나타난다.
그래서 49의 옆에 다음처럼 다시 적게 했다.
49＝7×7
1과 49 이외의 약수 7이 있으므로 합성수
이미 올바르게 판단한 29와 35의 풀이는 그대로 두었다. 29는 1과 29 이외의 약수가 없으므로 소수라고 확인했고, 35는 5×7로 나타나므로 합성수라고 정리했다. 이때 계산을 많이 늘리지 않고, 각 수를 1과 자기 자신 이외의 곱으로 나타낼 수 있는지만 살폈다.
인수의 모양이 달라진 문제로 바꾸어 보기
다음 문제는 숫자만 교체하지 않고 질문의 모양을 바꾸었다. “다음 수 중 합성수를 고르시오”가 아니라 “어떤 수를 두 자연수의 곱으로 나타낸 기록이 있다. 이 기록만 보고 소수인지 합성수인지 설명하시오”라고 제시했다.
학생에게 51＝3×17, 37, 81＝9×9가 적힌 표를 주고 각 수의 옆에 근거를 쓰게 했다. 학생은 51 옆에 “1과 51 외에도 3과 17이 있으므로 합성수”, 81 옆에 “9×9로 나타나므로 합성수”라고 썼다. 37에는 곱셈 형태가 바로 떠오르지 않자, 1과 37 사이의 약수가 있는지 확인하고 “다른 두 자연수의 곱으로 나타나지 않으므로 소수”라고 문장으로 답했다.
이번에는 인수의 순서가 바뀐 17×3, 9×9도 함께 제시했다. 학생은 3×17과 17×3이 같은 수를 나타낸다는 점을 확인한 뒤, 곱셈 순서가 바뀌어도 합성수라는 판단은 달라지지 않는다고 설명했다. 숫자를 단순히 외운 것이 아니라, 곱으로 되돌려 원래 수와 비교하는 방식으로 조건을 다시 읽은 것이다.
경계에 있는 수까지 스스로 점검하다
독립 문제에서는 1, 2, 27, 53을 제시했다. 학생은 1을 보고 잠시 소수라고 쓰려다가 멈추고, “1은 1과 자기 자신이 같은 수 하나뿐이므로 소수도 합성수도 아니다”라고 고쳤다. 2에는 “1과 2 이외의 약수가 없으므로 소수”, 27에는 “3×9로 나타나므로 합성수”라고 적었다.
마지막으로 힌트 없이 53과 63을 다시 판단하게 했다. 학생은 먼저 소수와 합성수의 기준을 직접 적고, 63을 7×9로 되돌려 합성수임을 확인했다. 53은 다른 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 있는지 살핀 뒤 소수라고 결론 내렸다. 이어 “곱셈으로 나타나면 1과 자기 자신 외의 인수가 있다는 뜻이고, 그렇지 않으면 소수 후보가 된다. 단, 1은 어느 쪽도 아니다”라고 자신의 판단 순서와 검산 근거를 설명했다.
달성군중1수학과외에서는 이런 식으로 정답을 먼저 알려 주기보다, 학생이 처음 적은 한 줄에서 어떤 조건을 놓쳤는지 찾아 다시 곱셈 형태로 확인하게 한다. 새로운 표현과 질문 방향에서도 같은 기준을 스스로 재현하는지가 소수와 합성수 구별 학습의 중요한 확인점이다.