반월당 중3수학과외
반월당 중3수학과외에서 살펴본 전개식의 구조
반월당과외 수업에서 한 학생의 오답노트를 함께 펼쳤습니다. 반월당중3수학과외를 찾는 생활권에는 남산자이하늘채와 보성황실타운이 있는 주거지가 있고, 꿈꾸는도서관 인근에서 공부하는 학생들도 문제 풀이를 정리할 때 이런 전개식 오류를 자주 점검할 수 있습니다. 이번 시간의 범위는 넓히지 않고, 두 항의 차를 제곱했을 때 각 항과 부호가 어떻게 연결되는지에만 집중했습니다.
답보다 먼저 확인한 풀이 기록
문제는 다음과 같았습니다.
(3x-2)²을 전개하여 간단히 하시오.
학생은 오답노트에 두 표현을 나란히 적었습니다.
- (3x-2)²=(3x)²-2²
- 9x²-4
계산한 9x²와 -4 자체는 각각 맞았습니다. 그러나 식을 읽을 때 괄호 안의 두 항이 서로 곱해지는 부분을 표시하지 않았습니다. 실제로 학생은 “제곱은 앞 항과 뒤 항에 각각 적용하면 된다”고 생각한 뒤, 가운데 항을 적지 않고 바로 동류항 정리 단계로 넘어갔습니다. 이때 확인한 대상은 ‘곱해져야 하는 항·계수·부호’였지만, 항 하나와 부호 하나를 끝까지 추적하지 않은 것이 문제였습니다.
여기서 최초로 어긋난 판단은 9x²-4라는 마지막 답이 아니라, (3x-2)²를 두 항 각각의 제곱으로만 읽은 순간입니다. 같은 괄호가 두 번 곱해진다는 관계를 놓쳤기 때문에 가운데 항이 처음부터 사라졌습니다.
괄호를 두 줄의 곱으로 바꾸어 확인하기
오류를 고칠 때 다른 계산까지 다시 바꾸지 않았습니다. 단 하나의 행동, 즉 괄호를 먼저 두 번 써서 모든 항의 곱을 보이게 하는 것만 적용했습니다.
(3x-2)²=(3x-2)(3x-2)
이제 첫 번째 괄호의 각 항을 두 번째 괄호의 각 항과 차례로 곱합니다.
- 3x×3x=9x²
- 3x×(-2)=-6x
- (-2)×3x=-6x
- (-2)×(-2)=4
따라서
(3x-2)²=9x²-6x-6x+4=9x²-12x+4
가 됩니다. 처음에 맞았던 첫 항 9x²는 그대로 유지했고, 빠져 있던 두 곱을 되살린 뒤 같은 종류의 항인 -6x와 -6x만 모았습니다. 이 과정에서 필요한 판단은 다른 공식으로 확장하는 것이 아니라, 두 표현이 실제로 같은 곱을 나타내는지 항별로 확인하는 것입니다.
모양을 바꿔도 남아 있어야 할 관계
다음에는 앞선 문제의 배열을 그대로 따라 하지 않고, 식의 모양을 바꾸었습니다.
(-2a+5)²을 전개하시오.
학생은 이번에는 괄호를 먼저 곱으로 바꾸었습니다.
(-2a+5)(-2a+5)
그리고 항별 기록을 남겼습니다.
- (-2a)×(-2a)=4a²
- (-2a)×5=-10a
- 5×(-2a)=-10a
- 5×5=25
그러므로 전개 결과는 4a²-20a+25입니다. 앞선 문제와 숫자만 바꾼 것이 아니라, 첫 항의 계수가 음수이고 뒤 항이 양수인 형태로 바꾸어 부호 판단을 다시 요구했습니다. 그래도 두 항이 각각 두 번씩 곱해진다는 구조는 변하지 않습니다. 학생은 “가운데 두 항은 서로 다른 곱처럼 보여도 같은 종류의 항이므로 마지막에 합친다”고 풀이 옆에 적었습니다.
힌트 없이 치른 마지막 확인
며칠 뒤에는 설명이나 앞 문제의 식을 보여 주지 않고 다음 문제만 제시했습니다.
(4m-3n)²을 전개하고, 전개 전 식과 전개 후 식에 m=2, n=1을 대입하여 같은 값을 얻는지 확인하시오.
학생은 먼저
(4m-3n)(4m-3n)
를 적고 네 곱을 직접 배열했습니다.
16m²-12mn-12mn+9n²=16m²-24mn+9n²
라고 정리한 뒤, “두 항의 차를 제곱한 식이므로 가운데 부분도 양쪽 항의 곱에서 생긴다”고 설명했습니다. 전개 전에는 (8-3)²=25, 전개 후에는 16×4-24×2×1+9×1=64-48+9=25를 계산했습니다. 힌트 없이 같은 값을 얻었으므로, 숫자나 배열을 외운 것이 아니라 각 항의 곱과 부호를 스스로 선택해 전개한 것입니다.