평리동 고3수학과외

밑의 범위를 먼저 읽어야 풀리는 지수방정식

대구서부고등학교 생활권에서 진행한 수능 수학 기록을 살펴보던 중, 한 학생의 오답에는 계산 과정이 길게 이어져 있었지만 첫 줄에 조건을 옮긴 흔적이 없었다. 문제는 다음과 같았다.

실수 x에 대하여 (a-2)^x = 4가 정의되도록 하는 a의 범위를 구하여라. 단, 1≤a≤5이다.

학생은 곧바로 양변에 로그를 취해 x=log_a-24라고 적고, 주어진 범위 안의 모든 a가 가능하다고 판단했다. 식의 변형 자체보다 먼저 확인해야 할 밑의 조건을 지나친 것이다.

계산보다 앞서 멈춰야 했던 한 줄

이 식에서 지수방정식의 밑은 a-2이다. 실수 지수로 식을 다루려면 밑은 양수여야 하고, 밑이 1이면 좌변이 항상 1이 되므로 우변 4와 같아질 수 없다. 따라서 계산 전에

a-2>0, a-2≠1

을 적어야 한다. 이를 정리하면 a>2, a≠3이고, 원래 범위 1≤a≤5와 합치면 가능한 범위는 2<a≤5, a≠3이다.

학생의 첫 오류는 로그 계산이 아니었다. 주어진 구간만 보고 밑의 정의조건을 식 옆에 쓰지 않은 것이 출발점이었다. 그 결과 a=2일 때 밑이 0인 식을 포함했고, a=3일 때 밑이 1인 식도 허용했다. 선택지가 있는 문제라면 두 후보가 함께 남아 오답으로 이어질 수밖에 없었다.

빠진 조건만 복원하는 교정

풀이 전체를 다시 외우게 하지 않고, 첫 식 왼쪽에 밑을 표시하는 방식으로 고쳤다. 학생은 이후 지수방정식을 보면 먼저 괄호 안을 동그라미 치고, 그 아래에 밑>0, 밑≠1을 적었다. 그 다음에만 주어진 매개변수 범위와 겹쳤다.

교정 뒤 같은 문제를 다시 풀 때는 다음 세 줄로 정리했다.

• 밑: a-2
• 정의조건: a-2>0, a-2≠1
• 주어진 범위와 교집합: 2<a≤5, a≠3

특히 서술형에서 보기나 후보를 제거할 때도 결과만 지우지 않고, “a=2는 밑이 0이어서 제외, a=3은 밑이 1이어서 제외”라고 이유를 남겼다. 이렇게 하자 정의조건과 실제 방정식의 해 존재 여부를 한 번에 대조할 수 있었다. 평리동에서 대구과외 수업을 진행할 때에도 이처럼 조건을 첫 식 옆에 붙이는 습관은 지수방정식의 해석 오류를 줄이는 데 유용하다.

표현을 바꾼 역문제에서 같은 판단을 쓰다

다음 날에는 결론이 먼저 제시된 문제로 바꾸었다.

실수 x에 대한 방정식 (b+1)^x-2=9이 하나의 실근을 갖도록 하는 b의 범위를 구하여라. 단, -1≤b≤4이다.

이번에는 수치를 단순히 바꾼 것이 아니라 밑을 이루는 표현과 지수의 위치를 바꾸었다. 학생은 b+1을 밑으로 표시하고, b+1>0 및 b+1≠1을 먼저 세웠다. 따라서 b>-1, b≠0이고, 주어진 구간과 결합한 답은 -1<b≤4, b≠0이다.

여기서 우변 9가 양수이므로 밑이 양수이고 1이 아닌 경우에는 실수해가 하나 존재한다는 점도 확인했다. 반대로 b=0이면 좌변은 모든 x에 대해 1이 되어 9가 될 수 없고, b=-1이면 밑이 0이므로 실수 지수식으로 허용할 수 없다. 이전 문제의 숫자를 기억해서 답한 것이 아니라, 바뀐 식에서 밑을 다시 찾아 조건을 구성한 셈이다.

표시 없이 남은 판단

주말 100분 실전 세트에서는 조건에 색 표시를 하지 않은 새 문항을 제시했다. 문제에는 밑의 조건이 직접 쓰여 있지 않고 매개변수의 구간만 주어졌다. 학생은 풀이를 시작하기 전에 먼저 “밑이 양수인지, 1인지 확인해야 한다”고 말한 뒤 첫 식을 세웠다. 해를 구한 뒤에는 제외한 경계값을 원래 식에 다시 넣어 좌변이 우변과 맞지 않는 이유까지 설명했다.

마지막으로 풀이를 가린 채 답안만 검토했을 때에도, 조건을 먼저 찾고 원래 범위와 교집합을 만든 뒤 후보를 재대입하는 순서가 유지되었다. 지수방정식에서는 로그 계산의 속도보다 식이 성립할 수 있는 밑의 범위를 먼저 판정하는 것이 풀이의 출발점이라는 점이 분명해졌다.