평리동 고등수학과외

평리동 고등수학과외에서 자주 다루는 장면은 이차방정식의 해를 구한 뒤, 그 결과를 부등식과 수직선에 정확히 연결하는 과정이다. 대구서부고등학교 학생과 공부할 때도 계산 결과만 적고 구간의 방향을 결정하지 못하는 경우가 있었다. 평리푸르지오와 서대구역반도유보라센텀 생활권처럼 학교와 주거지가 가까운 환경에서는 짧은 시간에 여러 유형을 풀기보다, 한 문제의 풀이 근거를 끝까지 확인하는 훈련이 효과적이다.

근의 공식에서 멈춘 풀이

학생에게 다음 식을 제시했다.

x²-8x+9=0

학생은 근의 공식을 적용해 x=4±√7까지는 정확히 계산했다. 그런데 이어서 x²-8x+9≥0을 묻자 두 근을 수직선에 표시하지 않고, “해는 4±√7”이라고만 적었다. 처음 잘못된 순간은 근을 구한 직후였다. 방정식의 해를 구하는 일과 부등식이 참인 구간을 정하는 일을 같은 결과로 처리한 것이다. 풀이 시간 기록에도 근의 공식 계산에는 3분, 구간 판단에는 5분 이상 머문 흔적이 남았다.

여기서 식을 다시 인수분해하려고 억지로 정수 근을 찾으면 안 된다. x²-8x+9는 (x-4)²-7이므로 두 근은 4-√7, 4+√7이다. 수직선에 왼쪽 근과 오른쪽 근을 찍고 세 구간을 나눈 다음, 각 구간에서 식의 부호를 확인해야 한다. 계수가 양수인 이차식은 두 근 바깥에서 양수이고, 두 근 사이에서 음수가 된다.

수직선과 식을 한 번에 확인하기

학생은 먼저 기준이 되는 세 구간을 표시했다.

• x<4-√7
• 4-√7<x<4+√7
• x>4+√7

그다음 각 구간에서 간단한 시험값을 골랐다. 예를 들어 x=0을 대입하면 9로 양수이고, 두 근 사이의 값인 x=4를 넣으면 -7이 된다. x=8을 넣으면 9가 다시 나온다. 이 세 값은 그래프를 그리지 않아도 포물선의 부호가 바깥쪽에서 양수, 안쪽에서 음수라는 사실을 보여 준다. 따라서 x²-8x+9≥0의 해는 등호가 포함되므로 x≤4-√7 또는 x≥4+√7이다.

반대로 x²-8x+9<0이라면 두 근 사이만 남는다. 학생은 처음에 수직선의 양 끝을 색칠했지만, 시험값 x=4를 넣어 음수가 되는 구간을 찾은 뒤 표시를 수정했다. 경계점에서는 식의 값이 0이므로 ≤, ≥일 때만 점을 채운다는 규칙도 이 과정에서 함께 확인했다.

조건을 바꾼 독립 적용

다음에는 계수와 보기 형식을 바꾸어 혼자 풀게 했다.

x²-8x+9≤0의 해를 보기에서 고르시오.

이번에는 먼저 두 근을 수직선에 놓고 가운데 구간을 선택했다. 이어 x=4를 대입해 실제로 -7이 나오는지 확인하고, 양 끝점 4-√7과 4+√7을 포함시켰다. 답은 4-√7≤x≤4+√7이다. 숫자나 조건이 달라져도 ‘근 표시 → 구간 선택 → 시험값 대입’의 순서를 스스로 재현한 점이 이전 풀이와 달랐다.

원식 재대입으로 끝내는 검증

마지막에는 구한 경계값을 원식에 다시 넣었다. x=4-√7을 대입하면 (x-4)²-7=(-√7)²-7=0이고, x=4+√7도 같은 방식으로 0이 된다. 따라서 두 점은 부등식의 경계를 이루는 값이다. 또 구간 안의 x=4에서는 -7≤0이 성립하고, 구간 밖의 x=0에서는 9≤0이 거짓이다. 수직선 표시와 원식 대입 결과가 서로 맞으므로 답을 확정할 수 있다.

자주 묻는 내용

근의 공식만 맞으면 부등식도 맞나요?

아니다. 근은 부호가 바뀔 수 있는 경계일 뿐이며, 어느 구간이 양수 또는 음수인지는 시험값으로 확인해야 한다.

수직선에 근을 정확한 소수로 바꿔야 하나요?

대부분 필요하지 않다. 4-√7과 4+√7의 순서만 알고 기호로 표시해도 구간 판단이 가능하다.

등호가 있을 때 무엇을 확인하나요?

경계값을 원식에 대입해 0이 되는지 확인한 뒤, 수직선의 점을 채운다.

시험값은 아무 숫자나 선택해도 되나요?

선택한 숫자가 해당 구간 안에 있어야 한다. 근과 겹치지 않는 간단한 정수를 고르면 계산 실수를 줄일 수 있다.

이차부등식은 해를 구하는 데서 끝나지 않는다. 수직선의 구간, 시험값의 부호, 원식 재대입이 한 방향을 가리킬 때 비로소 풀이가 완성된다.