구암동 중3수학과외

구암동 중3수학과외, 기호 하나에서 갈린 제곱근 풀이

구암동과외 수업에서 제곱근 단원을 점검하던 중, 한 학생이 도서관 자습 시간에 풀어 둔 풀이를 가져왔습니다. 구암동중3수학과외에서는 답만 맞는지보다, 풀이가 어느 문장을 어떻게 읽고 시작했는지를 먼저 확인했습니다. 칠곡주공그린빌3단지와 칠곡그린빌4단지가 있는 생활권, 또는 화성그랜드파크 도서관 함지원 인근에서 공부하는 학생들도 자주 만나는 유형입니다.

답에서 거꾸로 찾은 첫 갈림길

문제는 다음과 같았습니다.

① √25는 몇 개인가?
② 25의 제곱근을 모두 구하여라.

학생의 풀이 기록은 이렇게 시작했습니다.

√25 = ±5
따라서 √25는 5와 -5, 모두 2개이다.
25의 제곱근도 ±5이므로 2개이다.

뒤의 계산 자체를 살펴보면 25와 5의 관계는 알고 있었습니다. 하지만 첫 줄에서 이미 √25라는 하나의 표현을 ±5로 바꾸어 쓴 것이 문제였습니다. 완성된 답을 뒤에서부터 읽으며 “어느 줄에서 처음 두 값으로 갈라졌는가?”를 표시하자, 최종 답의 개수보다 앞선 이 판단이 최초 오류로 드러났습니다.

기호와 문장을 분리해 읽기

√25는 25의 양의 제곱근을 나타내는 하나의 기호입니다. 그러므로 √25=5이고, √25 자체의 값은 하나입니다. 반면 ‘25의 제곱근’은 제곱해서 25가 되는 수를 묻는 문장입니다. 5²=25, (-5)²=25이므로 25의 제곱근은 5와 -5, 두 개입니다.

교정은 풀이 전체를 다시 쓰는 방식이 아니었습니다. 학생은 첫 줄을 다음처럼 두 칸으로만 나누어 적었습니다.

• √25 → 5, 한 값
• 25의 제곱근 → 5, -5, 두 값

그 뒤 원래 계산에서 이미 확인한 5²=25와 (-5)²=25는 그대로 두었습니다. 바꾼 것은 ‘√25’와 ‘25의 제곱근’을 같은 뜻으로 처리했던 한 행동뿐입니다.

표현을 바꾼 독립 문제

다음 시간에는 숫자만 바꾼 식을 반복하지 않고, 질문의 모양을 바꾸었습니다. 학생에게 다음 빈칸을 제시했습니다.

제곱하여 81이 되는 수를 모두 쓰면 (　　　)이다.
그중 √81이 가리키는 수는 (　　　)이다.

이번에는 학생이 먼저 “제곱하여 81이 되는 수”라는 문장을 읽고, 9와 -9를 적었습니다. 이어서 “√81이 가리키는 수”는 하나를 묻는 표현이라고 구분한 뒤 9만 적었습니다. 식을 계산하는 순서보다, 표현이 한 값인지 두 제곱근을 묻는 문장인지 먼저 표시한 점이 이전 풀이와 달라졌습니다.

힌트 없이 다시 확인한 장면

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.

x²=49를 만족하는 x를 모두 구하고, √49의 값을 따로 쓰시오.

학생은 먼저 x²=49에서 x=7 또는 x=-7이라고 적었습니다. 이어 “이 식은 49의 제곱근을 묻는 것이므로 두 값”이라고 설명했습니다. 그 다음 √49=7이라고 쓰며 “√ 기호가 붙은 표현은 두 제곱근을 한꺼번에 뜻하지 않고, 양의 제곱근 한 값을 나타낸다”고 말했습니다.

마지막 검산에서도 7²=49, (-7)²=49를 각각 확인한 뒤, √49는 7이므로 두 값으로 세지 않았습니다. 새 숫자나 별도 힌트가 없어도 √a와 a의 제곱근을 먼저 분리하고, 하나의 값인지 두 값인지 판단하는 기준을 스스로 재현한 것입니다.