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구암동 고2수학과외

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다음 날 검증에서 다시 확인한 한 줄

전날 풀이를 다시 보니 결론은 다음과 같았다.

밑이 2인 경우에는 로그함수가 증가하므로 진수의 부등호 방향을 그대로 유지해야 한다.

\[ \log_2(x-1)>\log_2(3x-5) \] 에서 \[ x-1>3x-5 \] 로 바꾸는 것이 맞다.

먼저 확인할 진수 조건

로그가 정의되려면 두 진수가 모두 양수여야 한다.

\[ x-1>0,\qquad 3x-5>0 \]

따라서

\[ x>1,\qquad x>\frac53 \]

두 조건을 함께 만족하는 범위는 \(x>\frac53\)이다.

밑의 크기가 결정하는 부등호

밑 \(2\)는 \(1\)보다 크므로 \(\log_2 x\)는 증가함수이다. 그러므로

\[ x-1>3x-5 \]

를 풀면

\[ 4>2x,\qquad x<2 \]

정의역 조건과 합치면 최종 해는

\[ \boxed{\frac53

한 단계만 고친 오답 기록

학생의 처음 기록은 다음과 같았다.

\[ \log_2(x-1)>\log_2(3x-5) \]
\[ x-1<3x-5 \]

밑이 \(2>1\)인데도 부등호를 뒤집은 것이 오류였다. 진수 조건과 계산은 따로 확인할 수 있으므로, 이번 교정에서는 이 한 단계만 수정했다.

밑을 바꾸면 해가 어떻게 달라지는가

같은 진수 구조에서 밑만 \(\frac12\)로 바꾸면

\[ \log_{\frac12}(x-1)>\log_{\frac12}(3x-5) \]

밑이 \(0<\frac12<1\)이므로 로그함수는 감소함수이다. 따라서 이번에는 부등호가 뒤집힌다.

\[ x-1<3x-5 \]
\[ x>2 \]

진수 조건 \(x>\frac53\)과 합치해 해는

\[ \boxed{x>2} \]

풀이 전 점검표

  • 두 진수를 각각 \(0\)보다 크게 두었는가?
  • 밑이 \(1\)보다 큰지, \(0\)과 \(1\) 사이인지 확인했는가?
  • 증가함수이면 방향을 유지하고, 감소함수이면 방향을 바꾸었는가?
  • 로그 변환 뒤 얻은 해를 정의역 조건과 교집합으로 정리했는가?

구암동 고2수학과외 학부모 후기

구암동 수학과외 이야기를 나누던 중 시험 결과를 가족에게 보여주고 책상 위 풀이 흔적을 정리하는 모습을 보게 됐어요. 오답 문제를 다시 펼쳐 놓더니 틀린 답만 지우는 게 아니라, 계산이 처음 어긋난 식 하나를 찾아 네모로 묶어 두더라고요. 예전에는 어디에서 막혔는지 한곳으로 좁히지 못해서 풀이 전체를 다시 들여다보곤 했거든요. 이번에는 수정할 자리를 먼저 정해 두고 그 부분을 중심으로 보고 있었습니다. 새 수행평가 대본을 받아 확인할 때도 같은 식으로 처음 잘못된 식을 찾아 표시했어요. 표시한 곳이 분명하니 다음에 이어서 볼 위치도 바로 남아 있더라고요.

★★★★☆학부모 후기

저녁에 프린트를 챙기다가 아이가 함수 문제를 그냥 넘기지 않고 그래프를 다시 그리고 있더라고요. 식만 보고 답을 고르는 게 아니라, 직접 그린 그래프를 옆에 두고 식의 내용과 맞는지 하나씩 살펴보고 있었어요. 말없이 연필로 그래프 모양을 고쳐 그리는 모습이 조금 새롭게 보이더라고요. 예전에는 확인할 부분이 생겨도 그날 정리하지 않고 문제집을 덮는 경우가 많았거든요. 그런데 이번에는 함수식과 그래프를 나란히 놓은 뒤 같은 조건을 나타내는지 비교하더라고요. 구암동 수학과외를 찾아보던 중에도 이런 장면을 집에서 보게 될 줄은 몰랐어요. 수학 발표를 준비하던 날에도 비슷한 단원이 나오자 식과 그래프부터 펼쳐 놓았어요. 이미 살펴본 부분과 아직 확인하지 않은 부분을 서로 다르게 표시해 두어서, 어디까지 본 건지 한눈에 구분하고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

수행평가가 겹쳐 숙제가 평소보다 많이 남은 날에도 아이가 수업 후 복습할 내용을 스스로 정리하는 모습이 눈에 띄었습니다. 구암동에서 시작한 과외 초반에는 틀린 이유보다 정답에만 매달렸지만, 선생님이 할 수 있는 문제부터 편하게 풀게 하고 오늘 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주셔서 이제는 막혀도 한 번 더 살펴보려 합니다.

★★★★★학부모 후기

구암동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 컨디션이 좋지 않은 날에는 문제 수를 줄이고 핵심만 짚어 주셔서 수업이 덜 부담스러웠습니다. 선생님은 설명 속도보다 이해했는지를 먼저 살피고, 모르는 부분도 다시 물어보기 편하게 받아 주셨습니다. 요즘은 답지를 바로 보지 않고 덮은 채 혼자 다시 풀어 보며, 숙제도 예전보다 수월하게 시작합니다.

★★★★☆학부모 후기

구암동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 수업에서 맞힌 문제도 다시 설명해보며 복습하는 모습이 눈에 띄었습니다. 원래는 질문을 어려워하고 계산이 복잡하면 금방 포기했지만, 선생님은 학교 과제와 시험 일정을 살펴 그 주 수업량을 조절해 부담을 덜어주셨습니다. 오답 공책을 펼쳐 숙제를 정리하는 습관이 생겼고, 이제는 어려운 문제도 바로 피하지 않습니다.

★★★★★학부모 후기