구암동 중1수학과외

구암동 중1수학과외에서 살펴본 소인수분해의 한 장면

칠곡주공그린빌3단지와 칠곡그린빌4단지가 있는 생활권, 그리고 강북중학교와 구암중학교가 포함된 구암동에서 중1 수학 풀이를 살펴보며 학생이 적어 온 한 줄을 출발점으로 삼았다. 문제는 360을 소인수분해하고, 소인수의 종류와 각 소인수의 지수를 쓰라는 내용이었다.

틀린 답보다 먼저 확인한 한 줄

학생은 360을 2×180, 180을 2×90, 90을 2×45로 나눈 뒤 다음 줄에 곧바로 360=2³×3×5라고 적었다. 45를 3×15, 15를 3×5로 나눈 기록은 있었지만, 그 두 개의 3 중 하나만 식에 옮긴 것이다. 계산을 모두 마친 뒤 지수를 붙이는 과정에서 오류가 생긴 것처럼 보였지만, 실제로 풀이가 어긋난 최초의 판단은 인수분해가 끝났는지 확인하지 않은 채 소인수의 개수를 세기 시작한 순간이었다.

학생의 식을 바로 지우지 않고, 적어 둔 곱셈을 다시 한 줄로 이어 보게 했다.

360=2×2×2×3×3×5

이제 같은 소인수를 묶으면 2가 세 개, 3이 두 개, 5가 한 개라는 사실이 눈에 보였다. 따라서 지수 표현은 2³×3²×5가 된다. 여기서 중요한 교정은 지수를 먼저 정하는 것이 아니라, 나눗셈이 1에 도달할 때까지 나온 소인수를 빠짐없이 줄 세운 뒤 묶는 것이었다.

결과를 원래 수로 되돌려 확인하기

학생은 수정한 답을 곧바로 계산기로 확인하지 않고, 각 인수를 다시 곱했다.

• 2³은 2×2×2이므로 8이다.
• 3²은 3×3이므로 9이다.
• 8×9×5=360이다.

처음 답인 2³×3×5를 되돌려 계산하면 8×3×5=120이 되어 원래 수 360과 다르다. 학생은 이 비교를 통해 지수 하나가 빠진 것이 단순한 표기 문제가 아니라 곱 전체를 바꾸는 오류였음을 직접 확인했다.

표현이 바뀐 문제에서도 같은 원리 적용

다음 문제는 숫자만 바꾼 형태가 아니었다. “어떤 수를 소인수의 곱으로 나타내면 2×2×3×3×3×7이다. 이 수를 지수로 간단히 나타내고, 다시 원래 수를 구하여라.”라는 문장형 문제였다. 학생은 먼저 문장에서 주어진 소인수들을 그대로 옮겨

2×2×3×3×3×7

이라고 쓴 다음, 같은 수끼리 묶었다. 2는 두 번, 3은 세 번, 7은 한 번이므로 2²×3³×7이라고 정리했다. 이어 4×27×7을 계산하여 756을 얻었다. 이번에는 분해를 새로 시작하는 대신, 문장에 이미 제시된 인수와 반복 횟수를 구분해 읽는 것이 핵심이었다.

조건의 순서를 바꾼 짧은 질문도 덧붙였다. “756의 소인수분해에서 지수가 3인 소인수는 무엇인가?”라는 물음에 학생은 앞서 만든 2²×3³×7을 다시 보고 3이라고 답했다. 보기나 중간 식을 제공하지 않은 상태에서도, 소인수의 종류와 반복 횟수를 분리해 읽어야 한다는 기준을 적용한 것이다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

마지막으로 420을 소인수분해하고 결과를 검산하게 했다. 학생은 420을 2×210, 210을 2×105, 105를 3×35, 35를 5×7로 나누어

420=2×2×3×5×7=2²×3×5×7

이라고 적었다. 이어 2²×3×5×7=4×3×5×7=420이라고 되돌려 확인했다. 학생은 “나눗셈으로 얻은 소인수를 모두 적은 뒤 같은 것만 묶었고, 마지막 곱이 처음 수와 같아야 한다”고 자신의 풀이 이유를 설명했다. 이처럼 구암동과외 수업에서는 표기만 외우게 하기보다, 소인수분해의 결과를 다시 곱해 처음 수와 맞는지 확인하는 과정을 풀이 안에 남긴다. 구암동중1수학과외에서도 숫자, 문장, 지수 표현이 달라져도 같은 검산 기준을 스스로 재현하는지를 중심으로 살펴볼 수 있다.