고성동 중3수학과외
고성동 중3수학과외에서 확인한 √a와 ‘a의 제곱근’의 차이
고성동에는 대구역오페라w와 힐스테이트대구역오페라가 있는 생활권이 있고, 화성그랜드파크 도서관 함지원처럼 학습 공간으로 참고할 만한 곳도 있습니다. 이번 수업에서는 대구일중학교, 강북중학교, 동평중학교, 성광중학교, 침산중학교가 포함된 생활권의 중3 학생이 자주 혼동한 한 가지 표현만 다루었습니다. 핵심은 계산 기술이 아니라 √a가 나타내는 값과 a의 제곱근이라는 문장이 가리키는 값의 개수를 구별하는 것이었습니다.
오답노트에 남은 첫 식
학생은 다음 문제를 풀었습니다.
“9의 제곱근을 모두 구하고, √9의 값을 구하여 두 답을 비교하여라.”
학생의 풀이 기록은 다음과 같았습니다.
9의 제곱근: ±√9 = ±3
√9 = ±3
첫 줄에서 9의 제곱근을 3과 -3으로 쓴 것은 맞았습니다. 실제로 3²=9이고 (-3)²=9이므로 두 수가 조건을 만족합니다. 그러나 두 번째 줄에서 √9를 ±3으로 적은 순간 풀이의 의미가 달라졌습니다. 학생은 기호 √9와 ‘9의 제곱근 두 개’를 같은 표현으로 읽고 계산을 시작했습니다.
이후 학생은 “둘 다 3을 제곱해서 9가 되니까 √9에도 ±를 붙인다”고 설명했습니다. 하지만 √9는 양의 제곱근을 나타내는 기호이므로 값은 3 하나입니다. 여기서 중요한 것은 계산 결과가 아니라, 계산 전에 문제에 나온 대상을 구분했는지입니다.
계산 전, 표현을 두 칸으로 나누다
교정에서는 풀이 전체를 다시 쓰지 않고, 잘못된 두 번째 줄만 다음처럼 바꾸었습니다.
- ‘9의 제곱근’ → 제곱해서 9가 되는 수를 모두 찾으므로 3, -3
- √9 → √ 기호가 나타내는 양의 제곱근이므로 3
따라서 정리된 답은 다음과 같습니다.
9의 제곱근은 3과 -3이고, √9의 값은 3이다.
학생은 앞에서 이미 확인한 3²=9, (-3)²=9라는 계산은 그대로 두었습니다. 새로 바꾼 행동은 하나였습니다. 식을 계산하기 전에 문제에서 요구한 표현에 밑줄을 긋고, ‘한 값’인지 ‘제곱근 전체’인지 먼저 표시한 것입니다. √ 기호를 보자마자 ±를 붙이지 않고, 문장과 기호를 따로 읽는 것이 교정의 전부였습니다.
표현을 바꾸어 다시 만난 문제
다음 문제에서는 기호가 먼저 나오지 않도록 서술형으로 제시했습니다.
“어떤 수 x의 제곱이 16이 될 때 가능한 x를 모두 쓰고, 마지막으로 √16과 비교하여 설명하여라.”
학생은 먼저 “x²=16”이라고 적은 뒤, x=4와 x=-4를 제시했습니다. 이어서 √16에 대해서는 “√16은 4를 뜻하므로 -4까지 포함하지 않는다”고 설명했습니다. 이번에는 식의 모양이 달라졌지만, ‘가능한 수를 모두 묻는 문장’과 ‘√ 기호의 값’을 분리했습니다.
또 다른 짧은 확인에서는 답을 거꾸로 제시했습니다.
“다음 두 문장을 완성하여라. 25의 제곱근은 □이고, √25는 □이다.”
학생은 첫 칸에 “5, -5”, 둘째 칸에 “5”를 넣었습니다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 이번에는 문장의 위치가 바뀌어도 표현의 역할을 먼저 판단한 뒤 답을 적었습니다.
힌트 없이 진행한 마지막 점검
마지막에는 도움 없이 다음 문항을 풀었습니다.
“36의 제곱근 중 하나를 p라고 할 때, p가 될 수 있는 수를 모두 쓰고 √36의 값과 다른 점을 설명하여라.”
학생은 먼저 “36의 제곱근은 제곱해서 36이 되는 수이므로 6과 -6이다”라고 적었습니다. 이어 “p는 6 또는 -6이 될 수 있지만, √36은 양의 제곱근을 나타내므로 6 하나이다”라고 설명했습니다. 검산도 직접 했습니다.
6²=36, (-6)²=36이므로 두 수가 36의 제곱근이라는 점을 확인하고, √36=6은 음수가 아닌 값이라는 표현의 기준으로 다시 점검했습니다. 이제 학생은 숫자를 계산하기 전에 먼저 √ 기호인지, ‘a의 제곱근’을 묻는 문장인지를 구분합니다. 고성동중3수학과외 수업에서 확인한 변화는 많은 풀이법을 추가한 것이 아니라, 첫 식을 쓰기 전 표현의 대상을 정확히 나누는 한 가지 판단을 스스로 선택하게 된 점입니다.