검단동 중2수학과외

분모를 바로 읽지 않고 순환마디를 찾는 과정

이번 검단동중2수학과외에서는 계산 결과보다 분수를 기약분수로 고친 뒤 분모를 살피는 첫 판단을 중심으로 풀이를 다시 따라갔다.

첫 풀이에서 어긋난 한 줄

문제는 18/60을 소수로 나타내고 순환소수인지 판단한 뒤, 순환마디를 쓰는 것이었다. 학생은 먼저 60을 보고 “분모에 3이 있으므로 순환소수”라고 적었다. 이어 18÷60을 세로셈으로 계산해 0.3을 얻었지만, 나머지가 0이 되자 계산을 보류하고 앞서 적은 판단과 충돌한다고 말했다.

학생의 풀이 흔적에는 60의 소인수를 따로 표시한 뒤, 분자 18과 약분되는지는 확인하지 않은 모습이 남아 있었다. 즉, 나눗셈을 끝까지 하지 않은 것이 최초 오류가 아니었다. 기약분수로 바꾸기 전의 분모만 보고 소수의 형태를 결정한 것이 풀이가 틀어지기 시작한 판단이었다.

순환 여부는 처음 보이는 분모가 아니라, 약분을 끝낸 분수의 분모로 판단한다.

분모를 기준으로 다시 세운 판단

교사는 이미 맞게 진행한 나눗셈 준비 과정은 그대로 두고, 분수 옆에 약분 표시만 추가하게 했다. 학생은 18과 60을 6으로 나누어 18/60=3/10이라고 고쳤다. 그다음 분모 10을 2와 5의 곱으로 적고, 새로운 기준을 한 줄로 남겼다.

“기약분수의 분모가 2와 5만으로 이루어지면 유한소수이고, 그 밖의 소인수가 남으면 순환소수이다.”

학생은 3/10을 소수로 바꾸기 위해 분모를 100으로 만들고 30/100을 적었다. 따라서 답은 0.3이며, 반복되는 숫자가 없으므로 순환마디도 없다고 설명했다. 이번에는 60에 있던 3 때문에 잘못된 결론을 내리지 않고, 약분 뒤 남은 분모를 기준으로 판단했다.

표와 질문을 바꾼 독립 적용

같은 숫자를 다시 계산하는 대신, 다음과 같은 표를 제시했다. 학생은 소수를 직접 모두 나누기 전에 각 분수를 기약분수로 고쳐 분모만 따로 적었다.

• 7/40 → 분모 40, 2와 5만 포함 → 유한소수
• 11/24 → 분모 24, 3이 포함됨 → 순환소수
• 45/150 → 3/10, 분모 10 → 유한소수
• 13/30 → 분모 30, 3이 포함됨 → 순환소수

이번 활동에서는 “소수로 나타내라”가 아니라 “어느 분수가 순환소수인지 분류하고 이유를 쓰라”로 질문을 바꾸었다. 학생은 45/150을 보고 처음부터 150의 인수를 읽지 않고, 45와 150을 15로 약분해 3/10을 만든 뒤 분류했다. 11/24는 더 약분되지 않으므로 분모 24에 3이 남는다고 표시했다.

이어 13/30의 나눗셈을 직접 진행했다. 13÷30에서 0.4까지 계산한 뒤 나머지 1이 다시 나타나고, 그 뒤 같은 나머지가 반복되면서 0.4333…이 된다고 적었다. 학생은 반복되는 숫자 3에 점을 표시하고 “순환마디는 3”이라고 썼다. 단순히 분모 조건만 외운 것이 아니라, 같은 나머지가 다시 생겨 같은 숫자가 반복된다는 계산 근거까지 연결했다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

수업 후 제시한 문제는 56/84를 소수로 나타내고 순환소수인지 판단하라였다. 학생은 문제를 읽자마자 분모 84를 보지 않고, 먼저 56과 84에 공통으로 나눌 수 있는 28을 표시했다. 이어 56/84=2/3으로 고친 뒤, 분모 3은 2와 5만으로 이루어지지 않으므로 순환소수라고 설명했다.

학생은 세로셈으로 2÷3을 계산해 0.666…을 얻고, 반복되는 나머지가 계속 2로 돌아온다는 점을 검산 근거로 제시했다. 따라서 순환마디는 6이라고 스스로 결론 내렸다. 마지막으로 0.666…에 3을 곱하면 2가 되어 원래의 2/3과 일치한다고 확인했다.

새 문제에서도 학생은 약분을 먼저 선택하고, 기약분수의 분모를 살핀 이유와 반복되는 나머지를 이용한 검산까지 혼자 설명했다. 순환소수 문제에서 필요한 첫 판단이 계산 뒤에 붙는 설명이 아니라, 약분 뒤 분모를 확인하는 출발점으로 자리 잡은 장면이었다.