검단동 중1수학과외

거듭제곱을 읽는 순서부터 다시 세운 풀이

검단2차아이파크아파트와 검단미래지향아파트가 있는 생활권에서 중1 수학 풀이를 살펴보던 중, 학생이 거듭제곱 문제의 답은 맞히면서도 밑과 지수의 의미를 서로 바꾸어 적는 장면이 확인됐다.

채점 표시에서 거꾸로 찾아간 첫 오류

문제는 3⁴에서 밑과 지수를 각각 쓰고, 이를 곱셈식으로 나타내라는 내용이었다. 학생은 답안에 “밑은 4, 지수는 3, 3×3×3×3”이라고 적었다. 곱셈식은 올바르게 썼지만 앞의 두 답이 뒤바뀌었다.

틀린 결과 자체보다 중요한 것은 학생이 식을 읽을 때 어느 순간 판단을 잘못했는지 찾는 일이었다. 풀이를 되짚어 보니 학생은 작은 숫자와 큰 숫자의 위치를 먼저 비교한 뒤, 반복되는 수가 몇 번 나오는지를 세지 않고 예제에서 보았던 순서를 그대로 적었다. 즉, 곱셈식으로 바꾸기 전에 이미 밑과 지수를 구분하는 판단을 생략한 것이 첫 어긋남이었다.

거듭제곱에서 밑은 반복해서 곱하는 수이고, 지수는 그 수가 곱해지는 횟수이다.

한 줄의 표시로 식과 곱셈을 연결하다

교정은 풀이 전체를 다시 외우게 하는 대신, 첫 식에 표시를 남기는 방식으로 진행했다. 학생은 3⁴에서 숫자 3 아래에 ‘반복되는 수’, 4 위에 ‘곱하는 횟수’라고 짧게 적었다. 이어서

3⁴ = 3×3×3×3

처럼 등호 양쪽을 나란히 썼다. 곱셈식에서 3이 네 번 나타난다는 사실을 확인한 뒤, 왼쪽 아래 숫자 3이 밑이고 오른쪽 위 숫자 4가 지수라는 관계를 다시 표시했다. 이미 맞게 썼던 곱셈 전개는 그대로 두고, 그 전개에서 밑과 지수의 뜻을 거꾸로 확인하도록 한 것이다.

채점 직후에는 새로운 식을 바로 풀지 않고 조건을 먼저 읽었다. “반복되는 수는 무엇인가?”, “몇 번 곱하는가?”라는 두 질문에 답한 다음에야 밑과 지수를 적도록 순서를 고정했다. 이 과정에서 지수를 단순히 위에 있는 숫자로만 기억하지 않고, 곱셈식의 반복 횟수와 연결했다.

표현이 달라진 문제에서 확인한 적용

다음 문제는 거듭제곱 기호가 아니라 곱셈식으로 제시됐다.

5×5×5×5×5를 거듭제곱으로 나타내고, 밑과 지수를 설명하라.

학생은 먼저 같은 수 5가 반복되는 부분을 묶어 보았다. 5를 다섯 번 곱하고 있으므로 5⁵라고 적었고, 밑은 반복되는 수 5, 지수는 반복 횟수 5라고 문장으로 설명했다. 이번에는 식의 모양이 앞 문제와 달랐지만, 곱셈에서 출발해 거듭제곱으로 바꾸었기 때문에 예제의 위치를 기억하지 않고 판단할 수 있었다.

이어 “어떤 수를 두 번 곱한 것과 같은 거듭제곱의 밑과 지수는?”이라는 질문을 제시했다. 학생은 특정 숫자를 기다리지 않고, 임의의 수를 a×a=a²처럼 나타내며 밑은 그 수, 지수는 2라고 답했다. 중1 과정에서 사용하는 거듭제곱의 의미 안에서 식과 문장을 오가며 같은 관계를 확인한 장면이었다.

힌트 없이 다시 세운 최종 풀이

마무리 확인에서는 보기를 주지 않고 다음 식만 제시했다.

7³

학생은 별도의 표시를 기다리지 않고 “7은 반복해서 곱하는 수이므로 밑, 3은 7이 곱해지는 횟수이므로 지수”라고 먼저 설명했다. 그 뒤 7×7×7로 되돌려 7이 정확히 세 번 나타나는지 확인하고, 다시 원래 식의 아래 숫자와 위 숫자에 각각 대응시켰다.

검산 근거도 스스로 말했다. “곱셈식의 같은 인수가 세 개이므로 지수는 3이고, 그 인수의 값이 7이므로 밑은 7이다.” 처음처럼 숫자의 크기나 위치만 보고 답하지 않고, 반복되는 수와 반복 횟수를 근거로 설명한 것이다. 이 독립 재현을 통해 검단동과외 수업에서 확인한 오류가 특정 예제에만 해당한 것이 아님을 점검했고, 검단동중1수학과외에서는 앞으로도 거듭제곱을 곱셈식으로 되돌려 밑과 지수를 확인하는 과정을 풀이의 기준으로 삼기로 했다.