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검단동 고2수학과외

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엉뚱한 y절편에서 시작된 그래프 판단

학생은 로그함수의 그래프를 보자마자 지수함수처럼 y절편을 표시했다. 그러나 y=logaxx>0에서만 정의되므로 y축 위의 점을 지나는 것으로 그릴 수 없다.

대표점 두 개가 그래프의 방향을 정한다

밑이 a인 기본 로그함수는

y=logax, a>0, a≠1

이고 대표점은 다음과 같다.

  • (1, 0)
  • (a, 1)

a>1이면 (a,1)x>1 쪽에 놓이므로 그래프는 증가한다. 0<a<1이면 0<a<1인 곳에 놓이므로 그래프는 감소한다.

x절편이 이동한 문제

다음 함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 4일 때 밑 a를 구하여라.

y=loga(x-1)-1

식으로 x절편을 확인하기

x절편에서는 y=0이므로

0=loga(x-1)-1

loga(x-1)=1

따라서 x-1=a이다. x절편이 4이므로

4-1=a, 즉 a=3이다.

정의역과 조건 검토

로그의 진수는 양수여야 하므로 x-1>0, 즉 x>1이다. 구한 밑 a=3a>0, a≠1을 모두 만족한다. 따라서 그래프는 증가한다.

밑의 크기와 그래프 위치 비교

y=log2xy=log4x를 비교하면 두 그래프는 모두 (1,0)을 지난다.

x>1에서는 밑이 더 큰 4인 로그함수가 더 낮다.

0<x<1에서는 밑이 더 큰 4인 로그함수가 더 높다.

따라서 그래프가 증가하는지 먼저 확인하고, x>1 또는 0<x<1 중 어느 구간에서 위치를 비교하는지 구분해야 한다. x절편만으로 밑을 판단할 때에도 이동된 식을 세운 뒤 정의역과 밑의 조건을 함께 검증해야 한다.

검단동 고2수학과외 학부모 후기

방학 첫 주 오후, 아이가 시험지를 펴놓고 잠시 계산부터 할 줄 알았는데 조건 문장에만 동그라미를 치더라고요. 표시한 부분을 다시 읽은 뒤에야 풀이를 이어가는 모습이 낯설었어요. 예전에는 틀린 문제를 확인해도 어디를 다시 봐야 할지는 따로 정하지 않았거든요. 검단동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 그 장면이 생각났는데, 다음 수업 전 교재를 펼쳤을 때도 계산식보다 조건부터 찾고 있었습니다. 전에 해둔 동그라미를 지우지 않은 채 그대로 둔 덕분에, 문제를 읽는 순서가 한눈에 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

새 학기 첫 수학시험을 앞두고 책상 주변을 정리하다가 아이가 풀어 놓은 문제를 보게 됐어요. 답을 적고 바로 답지로 넘어간 게 아니라, 문제에서 요구한 단위와 범위가 빠지지 않았는지 한 번 더 살피고 있더라고요. 예예전에는 공부하다가 헷갈린 부분이 있어도 따로 표시해 두는 일이 거의 없었거든요. 검단동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 인상적이었는데, 수학 수업이 없는 평일 저녁에 문제집을 펼쳐 둔 모습을 보니 같은 확인을 하고 있더라고요. 답 뒤에 조건이나 범위가 제대로 들어갔는지 눈으로 짚고, 확인하면서 남긴 흔적도 지우지 않았습니다. 마지막에는 그 표시가 그대로 남은 페이지를 다시 살펴본 뒤 책을 덮었어요.

★★★★★학부모 후기

검단동에서 수학 과외를 시작한 뒤에도 아이는 선생님 설명을 듣고 곧잘 이해했다고 대답해 걱정이 있었습니다. 다만 저녁 식사 후 공부할 때 틀린 문제를 다시 펼쳐 보는 모습이 보였고, 선생님도 어려워하는 부분은 진도를 서두르지 않고 차분히 짚어 주셨습니다. 시험 다음 날에도 틀린 문제를 피하지 않으려는 태도가 생긴 것만으로도 의미 있는 변화라 느꼈습니다.

★★★★★학부모 후기

시험이 끝난 주말에도 아이가 수업에 차분히 참여하는 모습이 기억에 남았습니다. 검단동에서 수학과외를 시작할 때만 해도 틀린 문제를 다시 보거나 답을 확인하는 일을 유난히 싫어했는데, 선생님은 맞힌 문제도 풀이를 짧게 설명하게 하며 이해 여부를 살폈습니다. 요즘은 틀린 이유를 답보다 먼저 생각하려는 모습이 보여 공부를 조금 편하게 받아들이는 것 같습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 일주일 전만 되면 실수하는 모습을 보이기 싫어 공부량을 갑자기 늘리던 아이였는데, 검단동에서 수학과외를 시작한 뒤 분위기가 조금 달라졌습니다. 선생님은 주말 오전 숙제를 시작할 때 아이의 부담을 살피며 같은 내용도 다른 말로 설명하고, 스스로 이어갈 시간도 기다려 주셨습니다. 몇 번 지나자 숙제를 펼치기까지 망설이는 시간이 짧아져 부모로서 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기