지묘동 고1수학과외
지묘동 고1수학과외, 행렬식에서 빠진 조건을 찾아낸 검산
행렬 계산을 마친 뒤 학생은 정답 후보를 빠르게 골랐지만, 두 행렬의 대응 성분을 확인하는 과정에서 한 조건을 빠뜨렸다. 계산 자체는 자연스러워 보였으나, 행과 열의 위치가 바뀐 식을 원래 식과 같은 것으로 판단한 것이 문제였다.
행과 열의 위치가 바뀐 순간
학생은 주어진 행렬을 곧바로 전개하면서 각 성분을 따로 적지 않았다. 그 결과 행렬의 곱에서 첫 번째 행과 두 번째 열이 만나는 성분을 계산해야 하는데, 같은 위치의 성분끼리 곱하는 방식으로 바뀌었다. 숫자 결과만 보면 그럴듯했지만 행렬 곱의 성분 대응 조건을 만족하지 않았다.
행렬의 곱은 모양만 보고 계산하지 않고, 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열이 만나는 위치를 따라야 한다.
성분 대응을 화살표로 고정하기
교정할 때는 행렬 전체를 한 번에 전개하지 않고, 결과 행렬의 한 성분을 지정한 뒤 필요한 앞 행과 뒤 열을 화살표로 연결했다. 예를 들어 결과의 (1,2) 성분은 앞 행렬의 1행과 뒤 행렬의 2열만 사용한다는 식으로 계산 범위를 고정했다. 이 한 가지 대응 기준을 적용하자 행과 열을 혼동한 지점이 바로 드러났다.
표를 문장으로 바꾸어 적용하기
이후에는 행렬표를 제시하는 대신, “첫 번째 자료의 두 항목과 두 번째 자료의 세 번째 항목을 대응시켜 결과의 어느 위치를 구하라”는 문장형 문제를 풀었다. 학생은 먼저 결과 위치를 정하고, 그 위치에 연결되는 행과 열을 말로 표현한 다음 성분을 계산했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 행렬의 위치 정보를 문장으로 번역하는 연습이었다.
- 결과 성분의 위치를 먼저 표시한다.
- 앞 행렬에서는 해당 행을, 뒤 행렬에서는 해당 열을 찾는다.
- 연결된 성분만 사용해 한 성분씩 계산한다.
새로운 배열에서 독립적으로 확인한 결과
마지막에는 행렬의 크기와 성분 배치를 바꾼 문제에서 계산 전에 곱셈 가능 여부부터 판단하게 했다. 학생은 앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수가 같아야 한다는 조건을 확인한 뒤, 결과 행렬의 크기를 먼저 예측했다. 이후 계산한 결과의 각 성분이 예상한 행·열 대응으로 만들어졌는지 확인하면서, 이전처럼 같은 위치의 숫자를 곱하는 오류 없이 풀이를 완성했다.