이시아폴리스 고3수학과외

정답에서 거꾸로 찾아낸 삼각부등식의 첫 단추

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정수 \(n\)에 대하여 \(0\le x\le 2\pi\)에서 \(\sin x\ge \cos x\)가 성립하는 해의 개수가 \(n\)일 때, \(n\)의 값을 구하여라.

학생은 먼저 각의 범위인 \(0\le x\le2\pi\)를 읽고, 정답지의 \(n=2\)라는 결과에서 자신의 풀이를 역으로 따라갔다. 두 번째 사분면과 세 번째 사분면을 해로 표시한 줄까지는 맞았지만, 첫 줄에서 이미 \(\sin x\ge\cos x\)를 두 함수의 값 비교가 아니라 \(\sin x\ge0\)으로 바꾸어 적어 둔 것이 보였다. 뒤의 구간 계산은 형식상 자연스러웠지만, 함수관계를 바꾼 순간부터 다른 부등식을 푼 셈이었다.

계산보다 먼저 고쳐야 할 한 줄

학생에게 모든 풀이를 다시 쓰게 하지 않고, 최초 오류가 난 줄만 지우게 했다. 그 옆에는 “첫 식은 두 함수의 높이를 비교한 것이므로, 교점과 부호를 함께 확인한다”라고 근거를 한 문장으로 적었다. 이어 \(\sin x=\cos x\)에서 \(\tan x=1\)을 얻어 교점이 \(x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\)임을 표시했다.

이제 구간을 임의로 나누지 않고 대표값을 대입했다. \(x=\frac{\pi}{2}\)에서는 \(1\ge0\)이므로 첫 번째 해 구간은 \([\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]\) 방향으로 이어지고, \(x=\frac{3\pi}{2}\)에서는 \(-1\ge0\)이 거짓이다. 따라서 \(0\le x\le2\pi\)에서 해는 \([\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]\) 하나이며, 문제의 ‘해의 개수’를 묻는 표현은 연속 구간의 개수가 아니라 정수 \(n\)의 값과 연결되는 조건으로 다시 읽어야 했다.

이 지점에서 학생은 문제를 잘못 옮겨 적었음을 발견했다. 원문은 “해의 구간을 나누는 교점의 개수”를 \(n\)으로 두는 형태였고, 그 경우 교점은 2개였다. 중요한 교정은 정답에 맞추는 것이 아니라, 부등식의 양변 관계를 먼저 보존한 뒤 경계값을 세는 것이었다. 대구고3수학과외에서 이처럼 오답의 마지막 계산보다 첫 변환을 추적하는 훈련을 하는 이유도 여기에 있다.

경계 하나를 옮겨도 남는 판단

같은 식의 숫자만 바꾸지 않고 조건을 \( \frac{\pi}{6}\le x\le\frac{7\pi}{6}\)로 바꾸었다. 이번에는 학생이 곧바로 주기부터 펼치지 않았다. 먼저 \(\sin x=\cos x\)의 교점을 범위 안에 대입해 \(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\) 중 어느 것이 포함되는지 확인하고, 양 끝점에서 부등식이 성립하는지도 따로 적었다.

왼쪽 끝점에서는 \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\), \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\)이므로 부등식이 거짓이다. 교점 \(\frac{\pi}{4}\) 뒤의 대표값 \(\frac{\pi}{2}\)에서는 참이고, 구간 끝 \(\frac{7\pi}{6}\)에서는 \(-\frac12\ge-\frac{\sqrt3}{2}\)가 참이다. 따라서 해는 \([\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{6}]\)이다. 경계가 바뀌었는데도 예전 답을 기억해 고르는 대신, 교점과 대표값으로 관계를 재판정했다.

오답 풀이가 함께 제시된 독립 문제에서는 “주기 \(2\pi\)를 먼저 적용한다”는 선택과 “양변의 함수값 관계를 확인한다”는 선택 중 무엇을 먼저 고칠지 물었다. 학생은 후자를 골랐고, 첫 식의 근거를 “주어진 것은 사인과 코사인의 대소 비교이므로 교점에서 구간을 나눈다”라고 설명했다. 이후 주기 확장은 해의 반복을 확인하는 보조 단계로 분리했다.

힌트 없는 재시험에서 확인한 것

다음 날에는 \(0\le x\le4\pi\)에서 \(\sin x\le\cos x\)를 묻고, 교점의 개수를 \(m\)으로 두었다. 시간 제한을 절반으로 줄였지만 학생은 첨자나 주기 표현에 끌려가지 않고, 먼저 \(\sin x=\cos x\)를 풀어 \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)를 적었다. 그다음 원래 부등식의 방향이 바뀌었으므로 \(\frac{3\pi}{4}\)에서 참인지 확인하고 각 구간의 관계를 결정했다.

마지막 답을 낸 뒤에는 계산 결과만 보지 않았다. 표시한 교점들을 원래 조건에 다시 대입해 경계에서 등호가 성립하는지 확인했고, 같은 결론을 단위원의 위치로 한 번 더 대조했다. 학생이 스스로 찾아낸 최초 오류는 ‘주기 계산 실수’가 아니라 ‘함수관계를 다른 부등식으로 바꾼 첫 줄’이었다. 대구과외 수업에서 이 사례를 기록할 때도 정답률보다 먼저, 각의 범위와 첫 식의 근거를 설명하고 경계값을 확인하는 행동이 유지되는지를 평가했다.