이시아폴리스 고3수학과외

정답에서 거꾸로 찾아낸 삼각부등식의 첫 단추

이시아폴리스와 신천역 일대의 학습 생활권에서 수능 기출을 복기하던 학생은 다음 변형 문제를 풀었다.

정수 \(n\)에 대하여 \(0\le x\le 2\pi\)에서 \(\sin x\ge \cos x\)가 성립하는 해의 개수가 \(n\)일 때, \(n\)의 값을 구하여라.

학생은 먼저 각의 범위인 \(0\le x\le2\pi\)를 읽고, 정답지의 \(n=2\)라는 결과에서 자신의 풀이를 역으로 따라갔다. 두 번째 사분면과 세 번째 사분면을 해로 표시한 줄까지는 맞았지만, 첫 줄에서 이미 \(\sin x\ge\cos x\)를 두 함수의 값 비교가 아니라 \(\sin x\ge0\)으로 바꾸어 적어 둔 것이 보였다. 뒤의 구간 계산은 형식상 자연스러웠지만, 함수관계를 바꾼 순간부터 다른 부등식을 푼 셈이었다.

계산보다 먼저 고쳐야 할 한 줄

학생에게 모든 풀이를 다시 쓰게 하지 않고, 최초 오류가 난 줄만 지우게 했다. 그 옆에는 “첫 식은 두 함수의 높이를 비교한 것이므로, 교점과 부호를 함께 확인한다”라고 근거를 한 문장으로 적었다. 이어 \(\sin x=\cos x\)에서 \(\tan x=1\)을 얻어 교점이 \(x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\)임을 표시했다.

이제 구간을 임의로 나누지 않고 대표값을 대입했다. \(x=\frac{\pi}{2}\)에서는 \(1\ge0\)이므로 첫 번째 해 구간은 \([\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]\) 방향으로 이어지고, \(x=\frac{3\pi}{2}\)에서는 \(-1\ge0\)이 거짓이다. 따라서 \(0\le x\le2\pi\)에서 해는 \([\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]\) 하나이며, 문제의 ‘해의 개수’를 묻는 표현은 연속 구간의 개수가 아니라 정수 \(n\)의 값과 연결되는 조건으로 다시 읽어야 했다.

이 지점에서 학생은 문제를 잘못 옮겨 적었음을 발견했다. 원문은 “해의 구간을 나누는 교점의 개수”를 \(n\)으로 두는 형태였고, 그 경우 교점은 2개였다. 중요한 교정은 정답에 맞추는 것이 아니라, 부등식의 양변 관계를 먼저 보존한 뒤 경계값을 세는 것이었다. 대구고3수학과외에서 이처럼 오답의 마지막 계산보다 첫 변환을 추적하는 훈련을 하는 이유도 여기에 있다.

경계 하나를 옮겨도 남는 판단

같은 식의 숫자만 바꾸지 않고 조건을 \( \frac{\pi}{6}\le x\le\frac{7\pi}{6}\)로 바꾸었다. 이번에는 학생이 곧바로 주기부터 펼치지 않았다. 먼저 \(\sin x=\cos x\)의 교점을 범위 안에 대입해 \(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\) 중 어느 것이 포함되는지 확인하고, 양 끝점에서 부등식이 성립하는지도 따로 적었다.

왼쪽 끝점에서는 \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\), \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\)이므로 부등식이 거짓이다. 교점 \(\frac{\pi}{4}\) 뒤의 대표값 \(\frac{\pi}{2}\)에서는 참이고, 구간 끝 \(\frac{7\pi}{6}\)에서는 \(-\frac12\ge-\frac{\sqrt3}{2}\)가 참이다. 따라서 해는 \([\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{6}]\)이다. 경계가 바뀌었는데도 예전 답을 기억해 고르는 대신, 교점과 대표값으로 관계를 재판정했다.

오답 풀이가 함께 제시된 독립 문제에서는 “주기 \(2\pi\)를 먼저 적용한다”는 선택과 “양변의 함수값 관계를 확인한다”는 선택 중 무엇을 먼저 고칠지 물었다. 학생은 후자를 골랐고, 첫 식의 근거를 “주어진 것은 사인과 코사인의 대소 비교이므로 교점에서 구간을 나눈다”라고 설명했다. 이후 주기 확장은 해의 반복을 확인하는 보조 단계로 분리했다.

힌트 없는 재시험에서 확인한 것

다음 날에는 \(0\le x\le4\pi\)에서 \(\sin x\le\cos x\)를 묻고, 교점의 개수를 \(m\)으로 두었다. 시간 제한을 절반으로 줄였지만 학생은 첨자나 주기 표현에 끌려가지 않고, 먼저 \(\sin x=\cos x\)를 풀어 \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)를 적었다. 그다음 원래 부등식의 방향이 바뀌었으므로 \(\frac{3\pi}{4}\)에서 참인지 확인하고 각 구간의 관계를 결정했다.

마지막 답을 낸 뒤에는 계산 결과만 보지 않았다. 표시한 교점들을 원래 조건에 다시 대입해 경계에서 등호가 성립하는지 확인했고, 같은 결론을 단위원의 위치로 한 번 더 대조했다. 학생이 스스로 찾아낸 최초 오류는 ‘주기 계산 실수’가 아니라 ‘함수관계를 다른 부등식으로 바꾼 첫 줄’이었다. 대구과외 수업에서 이 사례를 기록할 때도 정답률보다 먼저, 각의 범위와 첫 식의 근거를 설명하고 경계값을 확인하는 행동이 유지되는지를 평가했다.