율하동 고3수학과외

로그식의 답보다 먼저 걸러야 할 조건

6월 모의평가 오답을 다시 펼친 날, 학생의 답안에는 계산 과정이 길게 이어져 있었지만 첫 줄에 로그의 정의조건이 없었다. 식의 변형은 자연스러웠고 최종 후보도 그럴듯했지만, 실제로는 로그 안의 값이 음수가 되는 경우까지 답에 남아 있었다. 율하동 생활권의 도서관에서 해설을 가린 채 다시 풀 때, 학생은 이번에는 계산보다 “어떤 값이 처음부터 허용되는가”를 먼저 표시하기로 했다. 이런 식의 조건 판독을 대구과외 수업에서도 답안의 첫 단계로 고정해 연습했다.

계산이 아니라 허용 범위를 먼저 세우기

예를 들어 다음 식이 주어졌다고 하자.

log_a(x-1)+log_a(5-x)

학생은 처음에 두 로그를 하나로 합친 뒤, 곱셈식의 변화만 살폈다. 그러다 x=1과 x=5를 후보 경계로 적어 놓고도 두 끝점을 포함시켰다. 이는 함수 관계를 정리한 결과와 로그가 실제로 정의되기 위한 조건을 구분하지 않은 데서 시작된 오류였다.

교정은 풀이 전체를 다시 쓰는 방식이 아니었다. 첫 줄에 다음 두 묶음을 따로 적었다.

• 밑의 조건: a>0, a≠1
• 진수의 조건: x-1>0, 5-x>0

따라서 진수 조건에서 1<x<5가 바로 나온다. x=1이면 첫 번째 진수가 0이고, x=5이면 두 번째 진수가 0이므로 양 끝점은 식을 계산하기 전부터 제외된다. 그 뒤에야 두 로그를 합쳐 log_a((x-1)(5-x))로 바꾸었다. 합친 식의 곱이 양수라는 사실만으로는 두 진수가 각각 양수라는 원래 조건을 대신할 수 없다는 점도 함께 확인했다. 예컨대 두 진수가 모두 음수여도 곱은 양수가 되지만, 그런 값은 원래 로그식에 대입할 수 없다.

조건표에 경계와 내부 변화를 함께 남기다

학생은 끝점만 표시하는 데서 멈추지 않고, 진수의 부호가 바뀌는 지점을 작은 표로 정리했다.

• x<1: x-1은 음수, 5-x는 양수
• 1<x<5: 두 진수 모두 양수
• x>5: x-1은 양수, 5-x는 음수

이 표는 함수의 최대·최소를 구하는 표가 아니라, 애초에 식이 존재하는 구간을 고르는 표였다. 학생이 이전 풀이에서 놓친 조건은 계산 중간에 새로 발견된 것이 아니라, 첫 줄에서 빠진 조건이었다. 그래서 다른 부분을 전부 재계산하지 않고 그 줄만 복원한 뒤 이후 식을 이어 갔다.

매개변수가 있는 문항에서는 이 구분이 더 분명해졌다.

log_m-1(x+2)+log_m-1(3-x)

여기서는 x의 범위를 정하는 조건과 밑의 범위를 정하는 조건을 한 덩어리로 처리하면 안 된다. 진수 조건은 x+2>0, 3-x>0이므로 -2<x<3이고, 밑 조건은 m-1>0 및 m-1≠1에서 m>1, m≠2이다. x의 경계가 변한다고 해서 밑의 조건이 함께 변하는 것은 아니다. 학생은 표의 왼쪽에는 x 조건, 오른쪽에는 m 조건을 적어 교점 변화와 밑의 허용 범위를 분리했다.

표현을 바꿔도 첫 줄이 살아 있는가

독립 적용에서는 식을 단순히 바꾸지 않고 질문의 형태를 바꾸었다. 다음과 같이 정의된 함수의 정의역을 고르게 한 것이다.

f(t)=log_2t-1(t+4)+log_2t-1(7-t)

학생은 먼저 “t에 대한 진수 조건”과 “밑에 대한 조건”이라는 두 제목을 직접 만들었다. 진수에서는 t+4>0, 7-t>0이므로 -4<t<7이다. 밑에서는 2t-1>0, 2t-1≠1이므로 t>1/2, t≠1이다. 두 조건의 교집합은

1/2<t<7, t≠1

이다. 여기서 t=1을 빠뜨리지 않은 것은 밑이 1이 되는 값을 끝점처럼 보지 않고 별도 금지값으로 기록했기 때문이다. 이전 문제와 달리 밑이 상수가 아니라 변수였지만, “진수 조건과 밑 조건을 나누어 적고 마지막에 교집합을 취한다”는 행동은 그대로 유지되었다.

마지막 검증에서 학생은 해설 없이 새로운 보기의 후보를 원래 함수에 대입해 보았다. t=1/2는 밑이 0이어서 탈락하고, t=1은 밑이 1이어서 탈락하며, t=7은 두 번째 진수가 0이어서 탈락한다고 각각 설명했다. 반대로 t=2를 대입하면 밑은 3, 두 진수는 6과 5로 모두 허용된다. 정답을 확인하는 데 그치지 않고 각 후보가 어느 조건에서 살아남거나 제거되는지 역추적한 것이다. 대구 고3 수학과외를 알아보는 학생에게도 이런 식으로 조건을 첫 식 옆에 남기고 원식에 재대입하는 습관을 권할 수 있다.