신암동 중2수학과외

순환소수의 반복이 시작되는 경계를 찾는 수업

신암동의 동대구역 센텀 화성파크드림과 대구지식산업작은도서관이 있는 생활권에서 중2수학과외를 진행하며, 한 학생의 순환소수 계산 과정을 함께 살폈다. 신아중학교가 포함된 생활권에서 다룬 문제는 분수를 소수로 나타낼 때 반복되는 숫자의 위치와 예외 조건을 구분하는 내용이었다.

계산 결과보다 먼저 확인해야 했던 것

문제는 7/12를 소수로 나타내고 순환마디를 쓰라는 것이었다. 학생은 세로셈을 세우고 7에 10을 곱한 뒤 12로 나누어 몫에 5를 적었다. 나머지 10에는 다시 10을 곱해 100을 만들고 8을 적은 다음, 나머지 4에서 0을 내려 40을 만들었다. 이때 학생은 계산 옆에 나온 숫자 5와 8에 동그라미를 치고 답을 0.58이라고 적으려 했다.

나는 학생에게 마지막 나머지를 다시 보게 했다. 학생은 40을 12로 나눈 몫 3을 적고 나머지가 4로 돌아온 것을 발견했다. 그런데 답안에는 0.583이라고만 쓰고, 반복되는 부분을 3 하나가 아니라 83이라고 표시했다.

반복은 숫자가 눈에 띄는 곳에서 임의로 시작하는 것이 아니라, 같은 나머지가 다시 나타난 순간부터 시작된다.

학생이 처음 잘못 선택한 판단은 순환이 시작되는 기준을 몫에 나타난 숫자의 모양으로 정한 것이었다. 5와 8이 한 번씩 나온 뒤 3이 반복되는 구조를 나머지의 변화와 연결하지 않았던 것이다. 계산 자체가 틀린 것이 아니라, 어느 자리부터 반복으로 인정할지 정하는 기준이 먼저 어긋났다.

나머지 표로 경계를 다시 표시하다

이미 맞게 계산한 세로셈은 그대로 두고, 각 단계의 나머지만 옆에 적었다.

• 7을 12로 나눈 뒤 나머지 7
• 70을 12로 나눈 뒤 몫 5, 나머지 10
• 100을 12로 나눈 뒤 몫 8, 나머지 4
• 40을 12로 나눈 뒤 몫 3, 나머지 4

학생은 세 번째와 네 번째 단계에서 나머지 4가 다시 나타난 것을 표시했다. 같은 나머지에서 같은 계산이 되풀이되므로 그때 나온 3부터 순환한다고 설명했다. 따라서 7/12=0.58̅3이 아니라, 5와 8은 반복 전에 한 번씩 나오고 3이 계속 반복되는 형태로 읽어야 했다. 학생은 소수 표기를 0.58333…으로 다시 적고, 이를 분수로 되돌릴 때도 반복되는 3의 시작 위치를 기준으로 식을 세웠다.

이번 교정에서는 분모의 성질을 무조건 외우게 하지 않았다. 12처럼 2와 5만으로 이루어지지 않은 분모에서는 유한하게 끝나지 않을 수 있다는 일반적인 경우와, 실제 계산에서 나머지가 0이 되어 끝나는 예외를 나누어 확인했다. 예를 들어 3/20은 0.15에서 나머지가 0이므로 순환하지 않는다. 반면 7/12는 나머지 4가 되풀이되어 순환마디가 생긴다.

표현과 조건을 바꾼 독립 적용

다음 문제에서는 분수가 제시되지 않았다. 소수 0.16̅을 보고 분수로 나타내고, 반복이 시작되는 자리를 설명해야 했다. 학생은 먼저 반복되는 숫자가 6 하나인지, 16 전체인지 표시하지 않고 소수점 뒤 숫자에 선을 직접 그었다. 그 결과 1은 반복 전 숫자이고 6만 반복된다는 점을 확인했다.

학생은 10배한 수와 원래 수를 나란히 적어 반복 부분을 없앴다. 두 식을 빼는 과정에서 1.666…에서 0.1666…을 빼야 한다는 것을 확인하고, 9x=1.5 형태가 된 뒤 분수로 정리했다. 계산 후 얻은 분수를 다시 나누어 0.1666…이 나오는지 확인했다.

조건의 위치도 바꾸었다. 이번에는 분모가 2와 5의 곱으로만 이루어진 분수는 언제 유한소수가 되는가를 묻고, 보기에는 -3/40, 11/30, 9/25가 섞여 있었다. 학생은 부호에 먼저 표시한 뒤 분모만 비교했다. -3/40과 9/25는 분모를 2와 5의 곱으로 나타낼 수 있어 유한소수가 되지만, 11/30은 분모에 3이 남아 순환소수가 된다고 구분했다. 부호는 반복 여부가 아니라 소수의 앞에 붙는다는 점도 함께 확인했다.

힌트 없이 반복 경계를 설명한 순간

검증 문제로 13/60을 소수로 나타내고 유한소수인지 순환소수인지 판단하라고 제시했다. 학생은 도움을 기다리지 않고 분모 60을 2와 5만의 곱으로 만들 수 있는지 먼저 살폈다. 3이 남으므로 유한소수가 아니라고 예상한 뒤, 직접 나눗셈에서 나머지를 기록했다.

학생은 13에서 시작해 나머지가 10, 40, 40으로 되돌아오는 과정을 적고, 같은 나머지가 다시 나온 뒤의 숫자부터 반복된다고 설명했다. 마지막에는 자신이 얻은 소수 표현을 분수로 되돌려 원래 13/60이 되는지 확인했다. 경계 앞의 숫자와 반복마디를 분리하고, 나머지의 재등장과 역변환을 검산 근거로 제시한 것이 이번 풀이에서 스스로 재현한 핵심이었다. haugesund