신암동 고등수학과외
신암동에서 고등수학과외를 진행할 때 고차방정식 풀이에서 자주 확인하는 장면이 있다. 학생은 식을 정리하고 항 번호까지는 정확히 적었지만, |x-7|<9를 이용해 인수 후보를 좁히는 순간 판단을 바꾸곤 한다. 동대구역 센텀 화성파크드림이나 해링턴 플레이스 동대구처럼 생활권이 다른 학생도 같은 지점에서 막히지만, 문제는 계산량보다 조건의 역할을 구분하는 데서 생긴다.
절댓값 범위는 후보를 만드는 조건이 아니다
|x-7|<9는 먼저 -9<x-7<9로 바꾸어 -2<x<16을 얻는다. 이 구간은 해가 있을 수 있는 범위를 알려 줄 뿐, 고차방정식의 인수를 자동으로 정해 주지는 않는다. 학생은 이 단계에서 2부터 15까지의 정수만 후보로 적거나, 반대로 7을 중심으로 가까운 수만 인수 후보로 남기는 식으로 판단했다.
교정 수업에서는 두 접근을 나란히 기록했다. 한쪽에는 ‘절댓값 조건으로 가능한 해의 구간을 좁힌다’고 쓰고, 다른 쪽에는 ‘정수계수 다항식의 유리근 후보는 상수항과 최고차항의 약수 관계로 정한다’고 적었다. 예를 들어 최고차항이 1이고 상수항이 12인 다항식이라면 유리근 후보는 ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12이다. 여기에 -2<x<16을 적용하면 후보를 다시 걸러낼 수 있지만, 5나 7이 구간 안에 있다는 이유만으로 인수가 되는 것은 아니다.
첫 오류가 생긴 줄을 되돌려 보기
학생의 풀이에는 ‘x는 -2와 16 사이이므로 가능한 인수는 x-2, x-3, …, x-15’라는 문장이 들어갔다. 바로 이 줄이 첫 오류였다. x-a가 인수라는 말은 x=a를 원식에 대입했을 때 값이 0이 된다는 뜻이다. 구간에 들어온다는 사실과 원식의 값이 0이라는 사실은 서로 다르다.
그래서 후보를 적기 전에 두 가지 질문을 붙였다. 첫째, 이 후보는 정수근 정리나 문제에서 주어진 조건으로 생긴 것인가? 둘째, 실제로 원식에 대입했을 때 0이 되는가? 이 기록을 남긴 뒤 학생은 절댓값 부등식을 ‘후보 선별 단계’에만 사용하고, 인수 여부는 나눗셈이나 대입으로 따로 확인했다.
교정 직후에는 조건을 바꿔 혼자 판단한다
새 문제에서는 절댓값 조건을 |x-7|<9에서 |x-7|<4로 바꾸고, 정수계수 고차식의 유리근 후보가 ±1, ±2, ±3, ±6이라고 제시했다. 학생은 먼저 3<x<11을 계산한 다음 후보 중 6만 범위에 남는다고 말하지 않았다. ±1, ±2, ±3, ±6을 각각 범위와 대조해 6만 가능하다고 정리했고, 그 뒤에도 x=6이 실제 근인지 원식에 대입해야 한다고 설명했다. 조건이 바뀌어도 ‘범위로 걸러내기’와 ‘인수 확인’을 분리한 것이다.
후속 확인에서는 전혀 다른 식을 사용했다. x²-3x+5=0에서 후보해를 억지로 만들지 않고 판별식이 9-20=-11임을 계산했다. 실수해가 없으므로 정수 후보를 대입해 인수를 찾는 방식이 맞지 않다는 결론을 냈다. 복소수해를 쓰더라도 원식에 재대입하면 0이 되는지 확인할 수 있다. 이처럼 조건이 후보를 줄여 주는지, 해의 존재를 보장하는지부터 구별하면 고차방정식의 인수 판단이 흔들리지 않는다.
조립제법으로 마지막 인수 여부 확인
어떤 수 a를 후보로 정했다면 다항식을 x-a로 조립제법에 넣어 마지막 나머지를 본다. 나머지가 0이면 x-a는 인수이고, 0이 아니면 구간 안에 있더라도 인수가 아니다. 대입 결과와 조립제법의 나머지가 일치하는지도 함께 비교하면 부호를 잘못 넣은 실수를 찾을 수 있다. 학생은 마지막에 ‘범위 안의 후보’와 ‘나머지가 0인 인수’를 별도 표시하면서 풀이를 마무리했다.
자주 묻는 내용
|x-7|<9에서 바로 인수를 정할 수 있나요?
아니다. -2<x<16이라는 해의 범위를 얻을 뿐이며, 인수 여부는 원식 대입이나 조립제법으로 확인한다.
범위 밖의 유리근은 반드시 제외하나요?
절댓값 조건이 해당 방정식의 해에 붙은 조건이라면 제외할 수 있다. 다만 다항식 자체의 인수 여부와 조건을 만족하는 해인지는 구분해야 한다.
후보가 구간 안에 여러 개면 어떻게 하나요?
정수근 정리 등으로 얻은 후보를 대입하거나 조립제법으로 나누어 나머지가 0인 경우만 남긴다.
판별식이 음수면 인수분해를 하지 않아도 되나요?
실수 범위의 해를 묻는 문제라면 실수근이 없다는 결론을 먼저 낼 수 있다. 복소수 인수분해가 필요한지는 문제의 범위를 확인해야 한다.
절댓값 조건의 역할은 무엇인가요?
후보 해의 구간, 경계값, 가능 여부를 제한하는 것이다. 다항식의 인수라는 사실을 대신 증명하지는 않는다.