신기동 중3수학과외

신기동 중3수학과외에서 확인한 근호식 전개의 한 갈림길

신기동과외 수업에서 한 학생의 풀이 노트를 살펴보니, 계산 결과보다 먼저 확인해야 할 장면이 눈에 들어왔습니다. 문제는 다음 식을 전개하는 것이었습니다.

3(2√5＋√7)을 전개하여 간단히 하시오.

신기중학교가 포함된 생활권에서 진행한 수업이었고, 대구안심3과 안심화성타운이 있는 생활권의 학습 사례이기도 합니다. 특정 학교의 시험 경향을 말하려는 것이 아니라, 하나의 근호식에서 괄호 밖 수가 괄호 안 각 항에 어떻게 적용되는지를 추적하는 데 초점을 맞췄습니다.

답에서 거꾸로 읽어 본 풀이 기록

학생은 교과서에 먼저 다음처럼 적었습니다.

3(2√5＋√7)
＝6√5＋√7
＝6√5＋2.64

첫 줄에서 3×2√5는 정확히 6√5로 계산했습니다. 그러나 두 번째 항인 √7에는 3을 곱하지 않았습니다. 이후 √7을 2.64 정도로 바꾸면서 식의 값도 달라졌습니다. 마지막 계산이 어색해 보였지만, 최종 숫자부터 고치면 같은 실수가 다시 생길 수 있었습니다.

그래서 완성된 풀이를 뒤에서부터 읽었습니다. 마지막 줄의 √7을 지운 뒤 바로 앞줄을 확인하고, 그 앞의 괄호식으로 돌아갔습니다. 이때 확인한 대상은 괄호 밖 수 3이 곱해질 모든 근호항이었습니다.

가장 먼저 어긋난 판단

오류의 시작은 √7의 값을 잘못 계산한 데 있지 않았습니다. 그보다 앞서 학생이 괄호 안의 두 항 중 첫 번째 항에만 3을 연결한 판단이 먼저였습니다. 분배법칙을 사용할 때에는 괄호 안의 각 항이 모두 곱셈 대상이 되어야 합니다.

따라서 식의 구조를 그대로 펼치면

3(2√5＋√7)
＝3×2√5＋3×√7
＝6√5＋3√7

가 됩니다. 여기서 한 일은 새로운 근호 계산이나 다른 개념을 추가한 것이 아니라, 괄호 밖의 같은 인수를 안쪽의 모든 항에 연결한 것뿐입니다. 앞에서 이미 맞았던 3×2√5＝6√5는 그대로 두고, 빠진 3×√7만 바로잡았습니다.

한 줄만 바꾸어 다시 세운 식

학생에게 전체 풀이를 지우게 하지 않고, 최초 분기점이었던 한 줄만 다시 쓰게 했습니다.

3(2√5＋√7)
→ 3×2√5＋3×√7

그 다음 계산은 학생이 이미 알고 있던 방식으로 이어 갔습니다.

3×2√5＋3×√7＝6√5＋3√7

이번에는 괄호 안의 항을 손가락으로 하나씩 짚으며 3을 연결했습니다. 이 확인은 근호를 소수로 바꾸거나 근호의 종류를 분류하는 활동이 아닙니다. 이 문제에서 필요한 기준은 오직 괄호 안 모든 항에 같은 인수를 곱하는지 여부였습니다.

표현을 바꾼 독립 문제

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 식 대신, 전개 결과 중간 줄이 가려진 문제를 제시했습니다.

－2(√3－4√6)의 전개 결과에서 빈칸을 채우시오.
－2(√3－4√6)＝(　　 )＋(　　 )

이번에는 괄호 앞의 수가 음수이고, 첫 번째 항에는 별도의 계수가 없으며 두 번째 항에는 4가 붙어 있었습니다. 학생은 곧바로 다음과 같이 적었습니다.

－2×√3＋(－2)×(－4√6)
＝－2√3＋8√6

이 문제에서 중요한 점은 앞 문제의 모양을 기억해 숫자만 바꾸는 것이 아니었습니다. 학생은 먼저 괄호 안을 ‘√3’과 ‘－4√6’이라는 두 항으로 나누어 읽고, 괄호 밖의 －2를 각각에 연결했습니다. 부호가 달라졌지만, 적용한 판단은 동일했습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

마지막에는 풀이 중간을 보여 주지 않고 다음 문제만 제시했습니다.

4(－√2＋3√11)을 전개하고, 전개 전후의 값이 같은지 확인하시오.

학생은 먼저 괄호 안의 두 항을 표시한 뒤 혼자 풀이를 시작했습니다.

4(－√2＋3√11)
＝4×(－√2)＋4×3√11
＝－4√2＋12√11

이어 전개 전 식과 전개 후 식에 각각 같은 근호의 근삿값을 넣어 비교했습니다. √2≈1.414, √11≈3.317을 사용하면

4(－1.414＋3×3.317)≈34.332
－4×1.414＋12×3.317≈34.332

로 나타났습니다. 학생은 “괄호 안 두 항 모두에 4가 연결되었고, 전개 전후의 값도 같으므로 이 전개는 맞다”고 설명했습니다. 신기동중3수학과외에서 확인하고 싶었던 변화는 정답만 맞힌 결과가 아니라, 새 식에서도 스스로 모든 항을 찾아 같은 인수를 적용한 판단이었습니다.

대구지식산업작은도서관 인근 생활권에서 접하는 문제라도, 이 장면의 기준은 복잡하지 않습니다. 근호가 들어 있는 괄호식에서는 괄호 밖 인수가 빠짐없이 각 항에 곱해졌는지부터 확인하면 됩니다.