다사읍 고2수학과외







한 점에서 맞았다는 이유로 극한을 결정한 오류
학생은 \(x=0\)에서 \(g(0)\le f(0)\le h(0)\)가 성립한다는 것만 확인하고 끼인 정리를 적용했다. 그러나 극한의 대소 관계에서 필요한 것은 한 점의 대소가 아니라 \(0\)의 충분히 가까운 근방에서의 대소이다.
오답 기록
다음 조건에서 \( \lim_{x\to0}f(x) \)를 구하여 보자.
\[ -|x|\le f(x)\le |x| \qquad (x\ne0) \]
학생은 \(x=0\)에서만 부등식을 확인한 뒤, 함수값 \(f(0)\)이 필요하다고 판단했다. 하지만 극한은 \(x=0\)에서의 함수값이 아니라 \(x\)가 0에 가까워질 때의 값으로 결정된다.
근방의 부등식과 양끝 극한
모든 \(x\ne0\)에 대하여
\[ -|x|\le f(x)\le |x| \]
이고,
\[ \lim_{x\to0}(-|x|)=0,\qquad \lim_{x\to0}|x|=0 \]
이다. 따라서 끼인 정리에 의해
\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=0} \]
이다. \(f(0)\)의 값이 정의되지 않았거나 다른 값이어도 이 결론에는 영향을 주지 않는다.
적용할 수 없는 조건을 구별하기
예를 들어 \(f(x)=1\;(x\ne0)\), \(f(0)=0\)이라 하자. \(x=0\)에서만 \(0\le f(0)\le1\)이 성립한다고 해서 \(f(x)\)의 극한을 0으로 결론 내릴 수는 없다. 실제로
\[ \lim_{x\to0}f(x)=1 \]
이다. 주변 구간에서 \(g(x)\le f(x)\le h(x)\)가 성립하지 않거나, 양끝 함수의 극한이 같은 값으로 수렴하지 않으면 끼인 정리를 사용할 수 없다.
검증 체크
- 부등식이 한 점이 아니라 해당 점의 근방에서 성립하는가?
- 아래 함수와 위 함수의 극한이 각각 존재하는가?
- 두 극한값이 서로 같은가?
- 구하려는 것은 함수값이 아니라 해당 점에서의 극한인가?
이처럼 다사읍과외에서 극한 문제를 점검할 때도 계산보다 먼저 근방의 조건과 양끝 극한을 확인해야 한다.