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다사읍 고2수학과외

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한 점에서 맞았다는 이유로 극한을 결정한 오류

학생은 \(x=0\)에서 \(g(0)\le f(0)\le h(0)\)가 성립한다는 것만 확인하고 끼인 정리를 적용했다. 그러나 극한의 대소 관계에서 필요한 것은 한 점의 대소가 아니라 \(0\)의 충분히 가까운 근방에서의 대소이다.

오답 기록

다음 조건에서 \( \lim_{x\to0}f(x) \)를 구하여 보자.

\[ -|x|\le f(x)\le |x| \qquad (x\ne0) \]

학생은 \(x=0\)에서만 부등식을 확인한 뒤, 함수값 \(f(0)\)이 필요하다고 판단했다. 하지만 극한은 \(x=0\)에서의 함수값이 아니라 \(x\)가 0에 가까워질 때의 값으로 결정된다.

근방의 부등식과 양끝 극한

모든 \(x\ne0\)에 대하여

\[ -|x|\le f(x)\le |x| \]

이고,

\[ \lim_{x\to0}(-|x|)=0,\qquad \lim_{x\to0}|x|=0 \]

이다. 따라서 끼인 정리에 의해

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=0} \]

이다. \(f(0)\)의 값이 정의되지 않았거나 다른 값이어도 이 결론에는 영향을 주지 않는다.

적용할 수 없는 조건을 구별하기

예를 들어 \(f(x)=1\;(x\ne0)\), \(f(0)=0\)이라 하자. \(x=0\)에서만 \(0\le f(0)\le1\)이 성립한다고 해서 \(f(x)\)의 극한을 0으로 결론 내릴 수는 없다. 실제로

\[ \lim_{x\to0}f(x)=1 \]

이다. 주변 구간에서 \(g(x)\le f(x)\le h(x)\)가 성립하지 않거나, 양끝 함수의 극한이 같은 값으로 수렴하지 않으면 끼인 정리를 사용할 수 없다.

검증 체크

  • 부등식이 한 점이 아니라 해당 점의 근방에서 성립하는가?
  • 아래 함수와 위 함수의 극한이 각각 존재하는가?
  • 두 극한값이 서로 같은가?
  • 구하려는 것은 함수값이 아니라 해당 점에서의 극한인가?

이처럼 다사읍과외에서 극한 문제를 점검할 때도 계산보다 먼저 근방의 조건과 양끝 극한을 확인해야 한다.

다사읍 고2수학과외 학부모 후기

출력해 둔 수업 자료를 정리하다가 아이가 방정식 문제 앞에서 멈춰 있는 걸 보게 됐어요. 구한 답을 바로 적는 게 아니라, 후보로 나온 값을 원래 식에 차례로 대입해 보고 있더라고요. 예예전에는 다시 살펴볼 때 문제의 모든 부분을 비슷하게 훑는 편이라 어디를 확인하는지 잘 드러나지 않았거든요. 다사읍 수학과외 관련 자료를 챙겨 보던 중이라 더 눈에 들어왔습니다. 수학 교재를 가방에 넣기 전에도 같은 문제를 한 번 더 들여다봤어요. 후보마다 식에 넣어 본 뒤 실제로 남길 값만 가려내고 있었고, 막연히 전체를 반복해서 보는 모습과는 달랐습니다. 마지막에는 확인해야 할 부분이 분명한 채로 계산을 마무리했어요.

★★★★☆학부모 후기

다른 선택지 문제를 풀 때 아이가 계산부터 하지 않고 조건 문장에 먼저 작은 표시를 하더라고요. 한 번 더 살펴본 부분은 종이를 살짝 접어 두고 그다음 풀이로 넘어갔어요. 예전에는 확인할 내용이 많으면 중요한 조건과 그렇지 않은 부분을 구분하지 못한 채 섞어서 보곤 했습니다. 비가 오던 주말 오후, 잠깐 방에 들렀다가 시험지를 펴 놓은 모습을 보게 됐어요. 조건에만 동그라미가 몇 개 그려져 있었고, 그 표시를 따라 문장을 다시 읽은 뒤 풀이를 처음부터 이어가고 있었습니다. 다사읍 수학과외 이야기를 나누며 보게 된 변화 중에서도 저는 이 장면이 특히 눈에 들어왔어요. 예전에는 답을 확인하거나 적어 둔 계산을 바로 따라가는 쪽에 가까웠는데, 그날은 먼저 조건을 짚고 자기 풀이를 다시 시작했어요. 다른 문제에서도 계산 전에 조건 문장에 표시가 남아 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

새 학기를 앞두고 아이가 다사읍 수학 수업을 부담스러워하지 않을까 걱정했습니다. 선생님은 어려운 문제부터 몰아붙이지 않고 쉬운 문제로 흐름을 열어 주면서도, 준비가 부족한 부분은 차분히 짚어 주셨습니다. 잘한 점도 구체적으로 알려 주셔서 아이가 집에서 모르는 내용은 숨기지 않고 먼저 말하는 모습도 조금씩 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 낯을 가려 문제만 풀고 풀이를 다시 살피지 않았는데, 두세 번 수업을 하니 다음 수업을 기다리는 모습이 눈에 띄었습니다. 시험 기간에도 선생님은 답을 바로 알려주기보다 어디까지 이해했는지 먼저 물어보고, 무리하지 않게 복습과 숙제를 조절해 주셨습니다. 다사읍에서 과외를 시작한 뒤 아이가 모르는 문제를 그대로 지나치지 않고 질문하려는 점이 가장 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기

다사읍에서 수학 과외를 시작한 뒤, 학원 일정이 바뀌어 귀가가 늦은 날에도 아이가 수업에서 무엇을 했는지 먼저 이야기하더라고요. 예전에는 문제 수만 많아도 부담을 느끼고 한 문제에 오래 매달렸는데, 선생님께서 무리하게 진도를 넘기지 않고 그날 보인 태도와 이해한 부분을 부모에게 자세히 알려주셨습니다. 요즘은 수업 전에 궁금한 문제를 스스로 표시해두는 모습이 보여 성적보다 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기