다사읍 중3수학과외
다사읍 중3수학과외에서 확인한 동류근의 경계
다사읍과외 수업에서 한 학생의 오답노트를 함께 펼쳤습니다. 왕선중학교, 다사중학교, 서동중학교, 서재중학교, 심인중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 유형이지만, 이번 시간의 범위는 넓히지 않고 근호 부분이 같은 항끼리만 더하고 빼는 동류근으로 한정했습니다. 성서5차산업단지와 죽곡대실역한신휴플러스 아파트가 있는 생활권에서도 참고할 수 있는 대표적인 중3수학과외 풀이 장면입니다.
학생의 노트에서 먼저 보인 한 줄
문제는 다음과 같았습니다.
3√5+2√20-√45를 간단히 하시오.
학생은 √20과 √45를 먼저 정리해 다음처럼 적었습니다.
3√5+2√20-√45
=3√5+2×2√5-3√5
=3+4-3=4
√20=2√5, √45=3√5라고 바꾼 과정은 맞았습니다. 그러나 마지막 줄에서 3√5, 4√5, 3√5를 각각 숫자 3, 4, 3으로 보고 계산했습니다. 풀이가 틀어지기 시작한 지점은 계산 결과가 아니라, 근호가 붙은 항에서 근호 부분을 확인하지 않고 계수만 합친 판단이었습니다.
계수보다 먼저 표시한 것
이번에는 식을 계산하기 전에 항을 다시 나누어 적었습니다.
- 3√5는 계수 3, 근호 부분 √5
- 2√20=4√5는 계수 4, 근호 부분 √5
- -√45=-3√5는 계수 -3, 근호 부분 √5
세 항 모두 근호 부분이 √5로 같으므로 계수만 계산할 수 있습니다.
3√5+4√5-3√5=(3+4-3)√5=4√5
학생이 처음 적은 4는 계수만 남긴 값이므로 정답이 아닙니다. 여기서 바꾼 행동은 하나였습니다. 계수를 계산하기 전에 각 항의 근호 부분이 완전히 같은지 표시하는 것입니다. 이미 맞았던 √20과 √45의 정리는 그대로 두고, 잘못된 결합 판단만 고쳤습니다.
같아 보이지만 합치면 안 되는 항
다음 문제에서는 조건을 식의 앞이 아니라 중간에 넣었습니다.
√12-√27+2√3+√2를 정리할 때, 서로 더하거나 뺄 수 있는 항만 묶어 쓰시오.
√12=2√3, √27=3√3이므로 식은
2√3-3√3+2√3+√2
가 됩니다. 앞의 세 항은 모두 근호 부분이 √3이므로
(2-3+2)√3+√2=√3+√2
입니다. 마지막 √2는 계수가 1이라는 이유만으로 √3과 합칠 수 없습니다. 근호 부분이 √3과 다르기 때문입니다. 따라서 √3+√2를 2√5처럼 바꾸는 것은 잘못입니다. 이번 문제는 항의 순서를 섞지 않았지만, 합칠 수 있는 항과 남겨야 하는 항을 스스로 가려야 한다는 점에서 앞의 문제와 다른 형태였습니다.
표현이 바뀐 독립 문제
며칠 뒤에는 식 대신 카드에 다음 네 항을 적어 주고, 같은 근호 부분을 가진 카드끼리만 묶게 했습니다.
-2√7, √14, 5√7, -3√14
학생은 먼저 √7 카드와 √14 카드를 구분했습니다.
- √7을 가진 항: -2√7, 5√7
- √14를 가진 항: √14, -3√14
따라서 정리하면
-2√7+5√7=3√7
√14-3√14=-2√14
전체 결과는 3√7-2√14입니다. 근호 안의 수가 서로 다르므로 두 결과를 다시 하나의 항으로 합치지 않았습니다. 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 항의 순서를 바꾸고 카드 형태로 제시해도 같은 경계를 선택하는지 확인한 장면입니다.
힌트 없이 남긴 검산 기록
마지막에는 도움 없이 다음 식을 풀었습니다.
4√18-√8+√2-2√50을 간단히 하시오.
학생은 먼저 각 근호를 정리했습니다.
4√18=12√2, √8=2√2, √50=5√2
그러므로
12√2-2√2+√2-10√2=√2
학생은 답만 쓰지 않고 이렇게 확인했습니다. “정리한 네 항의 근호 부분은 모두 √2라서 계수 12, -2, 1, -10만 계산했다. 계수의 합은 1이므로 √2가 남는다. 처음 식에서 근호 부분이 √2가 아닌 항을 억지로 합친 것은 없다.”
이처럼 다사읍중3수학과외에서는 식을 빨리 계산하는 것보다, 근호 부분이 같은 항만 동류근으로 인정하는 경계를 매 문제에서 먼저 확인하도록 풀이를 다듬습니다.