남촌동 고3수학과외

표준정규분포표에서 먼저 가려낸 조건

남촌동 생활권의 학습 상담에서 학생이 가져온 오답에는 계산식보다 먼저 확인해야 할 문장이 빠져 있었다. 문제는 다음과 같았다.

확률변수 X가 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따르고, a는 정수이며 70≤a≤100이다. P(60≤X≤a)=0.8185일 때 a의 값을 구하여라.

학생은 곧바로 표준화하여 “60은 z=-1이므로, 표에서 0.8185에 해당하는 z를 찾으면 된다”고 적었다. 하지만 이 문장에는 두 종류의 조건이 섞여 있었다. 하나는 확률을 계산하게 하는 사건 60≤X≤a이고, 다른 하나는 답의 후보를 제한하는 70≤a≤100이었다. 두 조건을 나누지 않은 것이 풀이가 흔들린 최초 지점이었다.

식보다 먼저 표시한 두 문장

풀이 종이에 학생은 문제의 조건을 다음처럼 다시 적었다.

• 사건 조건: 60≤X≤a
• 후보 제한: 70≤a≤100, a는 정수

이제 표준화하면

P(60≤X≤a)=P(-1≤Z≤(a-70)/10)=0.8185

표준정규분포표에서 Φ(2)=0.9772, Φ(-1)=0.1587이므로

Φ(2)-Φ(-1)=0.9772-0.1587=0.8185

따라서 (a-70)/10=2이고 a=90이다. 마지막으로 90이 70≤a≤100을 만족하는지 확인했다. 처음에는 이 제한조건을 식에 넣지 않아 허용되지 않는 값을 계산할 가능성이 있었지만, 조건을 사건과 후보 제한으로 구분하자 표를 읽는 순서도 분명해졌다. 남촌동과외 수업에서 확인한 것도 새로운 공식이 아니라, 첫 줄에서 어떤 조건이 표본공간을 제한하는지 표시하는 습관이었다.

문제의 순서를 뒤집어도 같은 판단이 나오는가

며칠 뒤 숫자만 바꾼 문제가 아니라 질문의 방향을 바꾼 문제를 제시했다.

X~N(50, 8²)이고 a는 정수이다. 50<a≤70일 때, P(42≤X≤a)=0.8185가 되도록 하는 a를 구하여라.

이번에는 제한조건이 사건보다 먼저 나와 있었지만 학생은 순서에 끌려가지 않았다. 먼저 “구간의 왼쪽 끝 42와 미지의 오른쪽 끝 a가 사건”이라고 표시한 뒤, “50<a≤70은 후보 범위”라고 따로 적었다.

표준화한 식은

P(42≤X≤a)=P(-1≤Z≤(a-50)/8)

앞 문제와 마찬가지로 0.8185는 Φ(2)-Φ(-1)이므로 (a-50)/8=2이다. 따라서 a=66이고, 50<66≤70도 만족한다. 숫자와 평균, 표준편차가 모두 달라졌지만 학생은 이전 답을 기억해 대입하지 않고 사건의 양끝을 먼저 정했다.

힌트를 지운 9월 기록 점검

9월 모의평가 기록을 다시 살필 때는 풀이 해설과 표시를 가렸다. 표준정규분포 문제에서 학생은 첫 줄에 사건을 괄호로 묶고, 그 아래에 정수조건과 범위조건을 별도 표시했다. 이어 표의 누적확률끼리 빼야 하는지, 한쪽 누적확률을 찾아야 하는지를 사건의 방향으로 결정했다.

새 문제에서 P( a≤X≤78 )처럼 미지수가 왼쪽 끝에 놓이자 학생은 즉시 양끝을 바꾸어 적지 않았다. 먼저 X=78을 표준화하고, a에 해당하는 z를 미지수로 남긴 뒤 누적확률의 뺄셈 순서를 확인했다. 계산이 끝난 후에는 구한 a가 정수조건과 범위조건 안에 있는지 원문으로 되돌아가 대조했다.

시간이 줄어든 100분 실전세트에서도 이 순서는 유지됐다. 표를 펼치기 전에 사건 조건과 후보 제한을 나누고, 계산 뒤에는 답을 원래 조건에 재대입했다. 조건의 위치가 바뀌거나 미지수의 방향이 달라져도 첫 판단이 흔들리지 않는지까지 확인되면서, 표준정규분포 문제에서 필요한 판독 기준이 실제 풀이 행동으로 자리 잡았다.