간석지구 중2수학과외

간석지구 중2수학과외에서 확인한 삼각형 외각의 첫 판단

학생은 계산 자체보다 그림에서 어떤 각을 먼저 골라야 하는지에서 풀이가 흔들렸다.

계산보다 앞선 한 줄

문제에는 삼각형 ABC에서 꼭짓점 C의 한 변을 연장해 생긴 외각이 128°, ∠A가 53°라고 제시되어 있었다. 학생은 그림을 보자마자 ∠A와 ∠C가 어떤 대응 관계인지 확인하려고 했고, 두 삼각형이 합동인지 판단하는 표시부터 찾았다. 각 옆에 같은 표시를 붙이고, 길이가 주어진 변을 연결한 뒤 계산을 시작하려 했다.

하지만 이 문제에는 합동인 두 삼각형을 찾으라는 조건이 없었다. 풀이가 틀어진 최초의 판단은 계산 실수가 아니라 외각 문제를 합동 조건을 고르는 문제로 바꿔 읽은 것이었다. 학생은 외각과 바로 붙어 있는 내각을 구분하지 않은 채, 그림의 여러 각을 한꺼번에 대응시키려 했다.

“먼저 합동인지 찾는 것이 아니라, 연장된 변과 맞닿은 각을 제외하고 외각과 마주 보는 두 내각을 골라야 해.”

교정은 한 가지 표시로 제한했다. 학생은 C에서 변을 연장한 방향에 화살표를 그리고, 그 연장선과 원래 변이 이루는 각을 주황색으로 표시했다. 이어 외각과 맞닿아 있지 않은 ∠A, ∠B에만 동그라미를 쳤다. 외각의 크기는 두 내각의 합과 같으므로

128° = 53° + ∠B

라고 적었다. 따라서 ∠B는 75°였다. 이미 표시한 외각과 두 내각만 유지하고, 합동 표시와 변의 길이 메모는 지웠다. 이후 삼각형의 세 내각의 합을 확인할 때도 ∠C는 외각과 이웃한 내각이므로 180°-128°=52°라고 구한 뒤 53°+75°+52°=180°로 검산했다.

그림이 사라진 문제에서 기준 세우기

같은 개념을 숫자만 바꾸어 반복하지 않기 위해, 다음 문제는 그림 없이 문장으로 제시했다.

“삼각형 PQR에서 QR을 R에서 연장한 직선과 RP가 이루는 바깥쪽 각의 크기는 146°이다. 외각과 맞닿지 않은 두 내각 중 ∠P는 68°이다. ∠Q를 구하여라.”

학생은 이번에는 식부터 쓰지 않고 문장을 두 번 나누어 읽었다. ‘QR을 연장한다’는 부분에 밑줄을 긋고, ‘바깥쪽 각’ 옆에는 외각이라고 적었다. 이어 외각과 직접 맞닿은 ∠R은 제외하고, 떨어져 있는 ∠P와 ∠Q를 골랐다.

학생은 146°=68°+∠Q라고 세운 뒤 ∠Q=78°를 얻었다. 질문이 ∠Q를 구하라는 방향이었기 때문에, 외각에서 알려진 내각을 빼야 한다고 스스로 설명했다. 이어 ∠R=180°-146°=34°로 계산하고 68°+78°+34°=180°을 적어 두 식의 결과가 삼각형의 내각 합과 맞는지 확인했다.

도움 없이 다시 고른 기준

수업 끝에는 힌트 없이 새로운 문장을 제시했다.

“삼각형 XYZ에서 YZ를 연장하여 생긴 외각이 117°이고, 외각과 떨어진 두 내각 중 ∠X는 49°이다. 나머지 내각과 외각에 이웃한 내각을 각각 구하여라.”

학생은 먼저 ‘연장하여 생긴 외각’에 표시하고, 외각과 떨어진 두 내각이 ∠X와 ∠Z라고 말했다. 따라서 117°=49°+∠Z이므로 ∠Z=68°라고 계산했다. 그다음 외각에 이웃한 ∠Y는 180°-117°=63°이라고 적었다.

학생은 풀이 이유도 직접 설명했다. “외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합이므로 ∠Z를 구할 때 117에서 49를 뺀다. 이웃한 ∠Y는 한 직선 위의 각이라서 180에서 외각을 뺀다.” 마지막으로 49°+68°+63°=180°을 확인하며, 처음처럼 합동 조건이나 대응변을 찾지 않고 외각과 두 내각의 관계를 기준으로 첫 판단을 세웠다.

이처럼 간석지구중2수학과외에서는 답을 맞힌 장면보다, 문장과 그림에서 외각을 먼저 찾아 필요한 두 내각만 남기는 판단이 실제 풀이에 재현되는지를 확인했다.