기장읍 중1수학과외
기장읍 중1수학과외에서 이어진 유리수 곱셈 풀이
기장읍과외 수업에서 학생은 기장중학교와 대청중학교가 포함된 생활권의 문제 사례로 다음 계산을 풀었다.
문제: -\frac{14}{15} \times \frac{25}{21}을 가장 간단한 분수로 나타내고, 그 값이 수직선에서 어느 위치에 놓이는지 설명해 보자.
학생은 종이에 곧바로 분자끼리, 분모끼리 곱해 \frac{-350}{315}를 적었다. 이어서 350과 315를 다시 나누어야 한다고 생각했지만, 계산 중간에 음수 기호를 분모 쪽에 옮겨 적었다가 지웠다. 풀이가 어긋나기 시작한 지점은 곱셈을 시작하기 전에 두 분수의 부호와 수의 크기를 확인하지 않은 순간이었다. 계산 절차는 진행했지만 결과가 음수라는 사실과 약분할 수 있는 수를 처음부터 활용하지 못했다.
약분은 곱하기 전에도 할 수 있다
학생의 식에서 이미 맞았던 ‘분자와 분모를 곱한다’는 방향은 유지하고, 곱하기 전에 서로 다른 분수의 분자와 분모를 비교하게 했다. 14와 21은 7로 나눌 수 있으므로 14를 2, 21을 3으로 바꾸었다. 또 25와 15는 5로 나누어 25를 5, 15를 3으로 줄였다.
-\frac{14}{15}\times\frac{25}{21}
=-\frac{2}{3}\times\frac{5}{3}
=-\frac{10}{9}
약분은 아무 수나 지우는 과정이 아니라, 한쪽 분자의 수와 다른 쪽 분모의 수를 같은 수로 나누는 과정임을 식 옆에 표시했다. 음수 부호는 한 개이므로 결과가 음수라는 점도 따로 동그라미로 묶었다. 두 양의 분수를 곱한 뒤 부호만 붙인 것이므로, 값은 0보다 작다. 또한 14/15는 1보다 작고 25/21은 1보다 크지만, 실제 곱은 10/9이므로 음수 수직선에서 -1보다 왼쪽에 놓인다.
부호를 먼저 세고, 약분할 수를 찾은 뒤, 곱셈 결과가 어느 범위에 있는지 확인한다.
식이 아닌 온도 문제로 바꾸어 확인하기
같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고 상황으로 바꾸었다. 고촌어울림도서관 인근 생활권의 날씨 기록에서 오전 기온이 현재 기온의 -\frac{14}{15}배로 표시되고, 현재 기온 변화량이 \frac{25}{21}도라고 하자. 이때 변화량은 얼마인지 묻는 문제다.
학생은 먼저 ‘음수 배’라는 조건을 식 앞에 적고, 두 수의 곱이 음수임을 표시했다. 그다음 수직선에 0을 가운데 쓰고, -1과 -10/9의 위치를 비교했다. -10/9는 -1보다 왼쪽이므로 결과가 -1보다 작다는 설명도 덧붙였다. 이번에는 분수 계산만 하지 않고 온도 변화가 0보다 낮아지는 방향이라는 문장으로 답을 바꾸어 말했다.
이어서 질문의 순서를 바꾸어 “계산 결과가 -1보다 작은 값이 되려면 두 분수의 부호와 크기를 어떻게 살펴야 하는가?”라고 물었다. 학생은 해설을 보지 않고, 한 분수만 음수이므로 결과는 음수이고, 약분한 뒤 절댓값이 10/9이므로 -1보다 작다고 답했다. 부호와 수직선 위치를 계산 뒤에 덧붙이는 것이 아니라 식을 읽는 첫 단계에 배치한 것이다.
표현을 바꾼 독립 적용
마지막으로 분수표를 제시했다.
- 첫 번째 수: -\frac{8}{9}
- 두 번째 수: \frac{27}{16}
- 질문: 곱한 값의 부호와 수직선에서의 위치를 구하시오.
학생은 힌트 없이 표의 두 값을 식으로 옮겨 -\frac{8}{9}\times\frac{27}{16}을 만들었다. 8과 16을 8로 나누고, 27과 9를 9로 나누어 -\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}를 얻었다. 약분한 수를 식 위에 직접 표시해 어떤 수를 줄였는지 남겼다.
검산에서는 원래 식의 값과 비교하기 위해 약분 전 수를 간단한 값으로 살폈다. 8/9는 1보다 조금 작고 27/16은 1보다 크므로 곱의 절댓값이 3/4가 될 수 있음을 확인했다. 음수 부호는 한 개이므로 결과는 0보다 작고, -3/4는 -1과 0 사이에 놓인다. 학생은 “약분은 곱하기 전에도 가능하고, 부호 한 개 때문에 음수이며, 그 크기가 1보다 작아 수직선에서 -1과 0 사이에 있다”고 설명했다.
기장읍중1수학과외에서는 이처럼 계산 결과만 확인하지 않고, 부호를 정한 순간과 약분한 위치, 수직선에서의 범위까지 스스로 되짚는 방식으로 유리수 곱셈을 재현했다.