음수 공비를 만났을 때 부호를 먼저 검증하는 등비수열 풀이
최종 검증 장면에서 계산기 없이 \(a_{20}\)의 부호를 고르는 상황을 떠올려 보자. \(a_1=6\), 공비가 \(r=-\frac12\)인 등비수열이라면 \(a_{20}\)은 음수이다. 지수의 크기보다 \((-1)^{19}\)의 부호가 먼저 결정하기 때문이다.
부호 판단이 틀어지는 지점
공비의 절댓값만 보면 \(\left|r\right|=\frac12\)이므로 항의 크기가 계속 작아진다는 점은 알 수 있다. 그러나 공비가 음수이므로 곱셈이 반복될 때마다 부호가 바뀐다.
일반항에서 부호 확인하기
등비수열의 일반항은
\[ a_n=a_1r^{n-1} \]
이다. 따라서 \(a_1=6\), \(r=-\frac12\)이면
\[ a_n=6\left(-\frac12\right)^{n-1} =6\cdot(-1)^{n-1}\left(\frac12\right)^{n-1} \]
이때 \((-1)^{n-1}\) 때문에 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수가 된다.
연속한 두 항의 비를 직접 계산하기
부호 교대 여부는 연속한 두 항의 비에서 확인할 수 있다.
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=r \]
예를 들어 \(a_1=6\), \(a_2=-3\)이라면
\[ \frac{a_2}{a_1}=\frac{-3}{6}=-\frac12 \]
공비가 음수이므로 \(a_1\)과 \(a_2\)의 부호가 다르고, 이후에도 항의 부호가 번갈아 나타난다. 장전동과외에서 이 유형을 다룰 때도 공비의 절댓값과 공비의 부호를 분리해 기록하면 판단 오류를 줄일 수 있다.
새 문제로 역추적하는 재풀이
다음 수열을 보자.
\[ -4,\ 12,\ -36,\ 108,\ \cdots \]
연속한 두 항의 비는
\[ \frac{12}{-4}=-3,\qquad \frac{-36}{12}=-3 \]
이므로 공비는 \(r=-3\)이다. 첫째 항이 음수이고 공비가 음수이므로 홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수이다.
특정 항의 부호 빠르게 판단하기
일반항은
\[ a_n=-4(-3)^{n-1} \]
이다. \(n=20\)이면
\[ a_{20}=-4(-3)^{19} \]
여기서 \((-3)^{19}\)는 음수이고, 앞의 \(-4\)도 음수이므로 \(a_{20}\)은 양수이다.
반대로 \(n=21\)이면 \((-3)^{20}\)이 양수이므로 \(a_{21}\)은 음수이다. 즉 음수 공비에서는 항 번호의 홀짝과 첫째 항의 부호를 함께 확인해야 한다.
최종 확인 기준
- 공비를 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)으로 구했는가?
- 공비의 절댓값과 부호를 구분했는가?
- 지수 \(n-1\)의 홀짝을 확인했는가?
- 첫째 항의 부호까지 반영했는가?
이 네 가지를 순서대로 확인하면 음수 공비의 부호 교대 문제에서 크기만 보고 모든 항의 부호를 같게 판단하는 실수를 피할 수 있다.