광주남구 고2수학과외
경계에 다가갈 때, 어느 식을 써야 할까?
조각함수의 극한에서는 x=a에서 실제로 어떤 값이 정의되는지보다, x가 a의 왼쪽과 오른쪽에서 어떤 구간을 지나오는지가 중요하다. 광주남구과외 수업에서도 이 구분을 먼저 확인하면 식을 잘못 선택하는 오류를 줄일 수 있다.
학생 풀이 기록에서 발견한 오류
다음 함수의 극한을 구해 보자.
\[ f(x)= \begin{cases} x+2 & (x<1)\\ x^2 & (1\le x<3)\\ 2x-1 & (x\ge 3) \end{cases} \]
\[ \lim_{x\to 1}f(x) \]
학생은 \(x=1\)에서 등호가 붙은 두 번째 식 \(x^2\)를 사용하여
\[ \lim_{x\to1}f(x)=1^2=1 \]
이라고 답했다. 그러나 극한은 \(x=1\)에서의 함수값만 구하는 과정이 아니다. 1의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 어떤 식이 적용되는지 확인해야 한다.
접근 방향에 따른 식 선택
왼쪽에서 \(x\to1^-\)이면 \(x<1\)인 구간을 지나므로 첫 번째 식을 사용한다.
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(x+2)=3 \]
오른쪽에서 \(x\to1^+\)이면 \(1\le x<3\)인 구간을 지나므로 두 번째 식을 사용한다.
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x^2=1 \]
좌극한과 우극한이 다르므로
\[ \lim_{x\to1}f(x) \]
은 존재하지 않는다. \(f(1)=1\)이라는 사실은 양쪽 극한이 존재하는지와 별개의 문제다.
두 경계점을 따로 분석하기
경계점 \(x=3\)의 경우
이번에는
\[ \lim_{x\to3}f(x) \]
을 살펴보자. 왼쪽에서는 \(1\le x<3\)이므로 \(x^2\), 오른쪽에서는 \(x\ge3\)이므로 \(2x-1\)을 사용한다.
\[ \lim_{x\to3^-}f(x)=3^2=9 \]
\[ \lim_{x\to3^+}f(x)=2\cdot3-1=5 \]
두 값이 다르므로 \(x=3\)에서도 양쪽 극한은 존재하지 않는다. \(f(3)=5\)이지만, 이 함수값만으로 \(\lim_{x\to3}f(x)\)를 5라고 할 수 없다.
식 선택을 위한 짧은 점검표
- \(x\to a^-\): a보다 작은 쪽의 구간을 찾는다.
- \(x\to a^+\): a보다 큰 쪽의 구간을 찾는다.
- 양쪽 극한이 같은지 비교한다.
- 경계점의 함수값은 양쪽 극한과 구분한다.
최종 확인: 식보다 먼저 방향을 읽기
조각함수 극한에서 등호가 붙은 식을 무조건 사용하는 것은 잘못된 접근이다. 등호는 \(f(a)\)의 값을 정할 때 중요하지만, 극한에서는 주변 구간의 식이 우선이다. 따라서 문제를 보면 먼저 \(x\)가 어느 방향에서 경계점으로 접근하는지 표시한 뒤, 해당 구간의 식을 선택해야 한다.
이 원칙을 적용하면 \(x=1\)에서는 좌극한 3, 우극한 1이므로 극한이 존재하지 않고, \(x=3\)에서는 좌극한 9, 우극한 5이므로 역시 극한이 존재하지 않는다는 결론을 정확히 얻을 수 있다.