광산구 고3수학과외

그래프를 그리기 전에 제한조건부터 선별한 삼차함수 풀이

광산구의 하남지구와 수완지구 생활권에서 수능 수학을 지도하며 만난 학생에게 삼차함수 개형 문제를 제시했다. 문제는 함수 f(x)=x³-3x²+4의 그래프가 x축과 만나는 점의 개수와 극값의 위치를 판단하고, 특정 구간에서의 그래프 관계를 이용해 조건을 만족하는지를 묻는 형태였다. 학생은 곧바로 미분하여 극대·극소를 찾고, 방정식의 근을 계산하려 했다. 그러나 계산에 들어가기 전 문제에는 “구간 1≤x≤3에서 그래프가 x축 아래에 놓이지 않는다”는 제한이 함께 제시되어 있었다.

계산보다 먼저 골라야 할 조건

학생의 첫 풀이에서 가장 먼저 드러난 문제는 모든 조건을 읽고도 식 옆에 표시하지 않았다는 점이었다. 극값을 구한 뒤 전체 그래프의 모양만 보고 후보를 정리했지만, 주어진 구간에서의 그래프 관계는 식에 반영하지 않았다. 그 결과 전체 실수에서 가능한 경우를 모두 남겨 두었고, 실제 문항에서 제외해야 할 후보까지 답에 포함시켰다.

특히 학생은 “극소점의 함숫값이 음수이므로 x축과 두 번 만난다”고 판단했다. 하지만 극소점의 위치가 구간 밖에 있을 수 있는 경우에는 이 결론을 해당 구간의 조건으로 사용할 수 없다. 그래프의 전체 개형과 문제에서 제한한 구간의 관계를 구분하지 않은 것이 최초 오류였다. 광산구고3수학과외 수업에서도 이런 유형은 미분 계산보다 조건을 어느 범위에 적용하는지가 답을 좌우한다.

빠진 조건을 첫 줄에 복원하기

교정은 복잡하지 않게 한 가지 행동으로 제한했다. 풀이 첫 줄에 문제의 제한조건만 따로 옮겨 적도록 했다.

① 구간: 1≤x≤3
② 그래프 관계: 이 구간에서 f(x)≥0
③ 그 뒤에 미분과 근의 개수 판단

그 다음 계산은 그대로 진행했다. f'(x)=3x(x-2)이므로 극대점의 x좌표는 0, 극소점의 x좌표는 2이다. 구간 안에서는 x=2에서의 값만 직접 확인하면 되고, f(2)=0이므로 이 구간에서 그래프는 x축 아래로 내려가지 않는다. 학생은 이전처럼 극소점의 부호만 보고 전체 근의 개수를 단정하지 않고, “이 값은 주어진 구간의 그래프 관계를 확인하는 데 쓰인다”고 설명했다. 교정 뒤에는 그래프관계와 해의 조건을 나란히 대조해 허용되지 않는 후보를 제거했다.

조건의 순서를 바꾼 변형 문제

다음 날에는 숫자만 바꾸지 않고 조건의 위치와 표현을 바꾸었다. 함수는 g(x)=x³-6x²+9x+2로 제시하고, 먼저 “그래프가 x축과 만나는 점의 개수가 세 개”라는 결론을 준 뒤, 구간 0≤x≤4에서 그래프가 특정 직선 y=2보다 위에 있는지를 판단하게 했다. 이번에는 그래프 조건이 문제 뒤쪽에 배치되어 있었다.

학생은 결론을 보자마자 근을 추측하지 않고, 정수 후보를 오름차순으로 적은 뒤 각 후보가 구간 조건을 만족하는지 제외했다. 이어 g(x)-2=x(x-3)(x-3)처럼 직선과의 관계를 나타내는 식을 세우고, x=0과 x=3에서의 위치 변화를 확인했다. 한 후보를 남길 때도 “전체 그래프에서 가능한가”와 “지정된 구간에서 가능한가”를 따로 물었다. 조건의 순서가 달라졌지만 첫 식을 세우기 전에 제한범위와 그래프 관계를 찾는 행동은 유지되었다.

다만 학생은 그래프의 모양만으로 “항상 위에 있다”고 말하려 했다. 그래서 반례 하나를 직접 확인하게 했다. 예를 들어 구간 내부의 x=1을 대입하면 g(1)=6이므로 직선 y=2보다 위지만, x=4에서는 g(4)=6이고 x=2에서는 g(2)=4이다. 점 몇 개의 값만으로 전체 구간을 단정할 수 없으므로, 부호가 바뀔 수 있는 지점과 중복근을 함께 살펴야 한다는 판단을 덧붙였다.

힌트 없이 남은 판단

마지막 새 문제에서는 해설과 검산법을 주지 않고, 조건이 앞뒤로 흩어진 삼차함수 개형 문항을 풀게 했다. 학생은 문제지에서 구간과 그래프 관계를 먼저 표시하고, 첫 식 옆에 그 조건을 다시 적었다. 이후 극값의 위치를 구한 뒤 해당 구간의 끝점과 내부의 기준 좌표를 원래 식에 대입했다. 그래프가 x축과 만나는 개수에 대한 결론도 극값의 부호와 정의된 구간을 분리해 설명했다.

최종 답만 확인하지 않고 풀이 첫 줄을 거꾸로 점검하자, 빠진 조건 없이 “구간 제한 확인 → 그래프 관계 식으로 표현 → 후보 대입”의 순서가 남아 있었다. 광산구과외에서 이 학생의 변화를 확인한 기준도 정답률 자체가 아니라, 조건의 위치가 바뀌거나 결론이 먼저 주어져도 같은 판단을 스스로 재현하는지였다. 삼차함수 개형에서는 그림을 빨리 그리는 것보다 어떤 조건이 실제 후보를 제한하는지 먼저 골라내는 행동이 풀이의 출발점이 되었다.