내방동 고2수학과외







조건부확률에서 틀린 답이 시작된 지점
학생의 풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었다.
조건부확률이 \(P(A\mid B)=\frac{2}{5}\)이므로 교집합의 확률도 \(\frac{2}{5}\)이다.
이 판단은 조건부확률과 교집합을 같은 값으로 본 데서 비롯된다. \(P(A\mid B)\)는 사건 \(B\)가 일어났다는 조건에서 사건 \(A\)가 일어날 확률이고, 전체 표본공간에서의 교집합 확률 \(P(A\cap B)\)와는 다르다.
조건사건으로 표본공간을 먼저 좁히기
예를 들어 전체 학생 40명 중 사건 \(B\)에 해당하는 학생이 20명이고, 그중 사건 \(A\)에도 해당하는 학생이 8명이라고 하자.
| A | A의 여사건 | 합계 | |
|---|---|---|---|
| B | 8 | 12 | 20 |
| B의 여사건 | 7 | 13 | 20 |
| 합계 | 15 | 25 | 40 |
조건부확률은 \(B\) 안에서 계산하므로
\[ P(A\mid B)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5} \]
이다. 그러나 교집합은 전체 40명을 기준으로 하므로
\[ P(A\cap B)=\frac{8}{40}=\frac{1}{5} \]
이다. 따라서 두 값은 서로 다르다.
교집합을 역산하는 정확한 식
분모 조건을 빠뜨리지 않는 방법
조건부확률의 정의에서 출발하면
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
이므로 양변에 \(P(B)\)를 곱해야 한다.
\[ P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B) \]
위 사례에서는 \(P(A\mid B)=\frac25\), \(P(B)=\frac12\)이므로
\[ P(A\cap B)=\frac25\times\frac12=\frac15 \]
가 된다. 처음 풀이에서 빠진 것은 바로 조건사건 \(B\)의 확률, 즉 분모를 복원하기 위한 \(P(B)\)였다.
풀이 순서 교정과 최종 확인
- 조건사건 \(B\)를 확인한다.
- \(P(A\mid B)\)와 \(P(B)\)를 구분한다.
- \(P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)\)를 적용한다.
- 결과가 \(P(A\mid B)\)보다 작거나 같은지 확인한다.
실제로 \(\frac15\leq\frac25\)이므로 계산 결과도 조건에 맞는다. 내방동과외에서 조건부확률을 다룰 때도 새 표본공간을 설정하는 것보다 먼저 무엇이 조건사건인지 표시하면 같은 오류를 줄일 수 있다.
공식을 쓸 수 있는 조건도 기억하나요?
고2 학습에서 공식의 모양만 기억하면 적용할 수 없는 상황에 사용할 수 있습니다. 공식 옆에 필요한 조건을 함께 적고, 조건 하나가 빠진 문제에서도 쓸 수 있는지 생각해 보세요. 새로운 공식을 더 외우기 전에 사용 범위가 분명한지 점검하는 연습입니다.
방법이 두 가지일 때 무엇을 비교할까요?
현재 배우는 단원의 한 문제를 서로 다른 방법으로 풀었다면 줄 수만 비교하지 말고 어떤 조건을 활용했는지 살펴보세요. 한 방법은 특정 형태에서만 간단할 수 있습니다. 더 짧은 풀이를 무조건 외우기보다 선택한 이유까지 설명할 수 있는 방법을 정리해 보세요.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
고등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 고등 | 33~50만 원 | 30~46만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
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