양산지구 중3수학과외

양산지구 중3수학과외에서 확인한 ‘조건에 맞는 해’의 선택

양산지구과외 수업에서 오답노트를 복기하던 중, 한 학생의 풀이가 눈에 들어왔습니다. 문제는 다음과 같았습니다.

어떤 수 x에 대하여 x²-5x+6=0이다. x는 2보다 큰 수일 때, x의 값을 구하여라.

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풀이 기록에서 멈춘 지점

학생은 문제에서 식만 옮겨 적은 뒤 다음처럼 계산했습니다.

x²-5x+6=0
(x-2)(x-3)=0
x=2 또는 x=3

여기까지의 인수분해와 해의 계산은 맞았습니다. 그런데 답안에는 곧바로 x=2라고 적혀 있었습니다. 이유를 묻자 “앞에 나온 해를 답으로 썼다”고 말했습니다. 학생은 두 값을 구했지만, 원문에 있는 “2보다 큰 수”라는 조건을 해마다 대조하지 않았던 것입니다.

따라서 최종 답이 틀린 이유를 단순 계산실수라고 보기는 어렵습니다. 결과가 결정되기 전에 가장 먼저 어긋난 판단은 구한 해 중 조건에 맞는 값을 확인하지 않은 것이었습니다. 2와 3을 계산한 뒤 어느 값이 조건을 만족하는지 판단했어야 했습니다.

식 옆에 조건을 함께 세우기

풀이 전체를 다시 바꾸지는 않았습니다. 이미 맞았던 인수분해와 계산은 그대로 두고, 해를 구한 직후 조건을 한 줄로 적는 행동만 고쳤습니다.

x²-5x+6=0
(x-2)(x-3)=0
x=2 또는 x=3

문제의 조건은 x>2이므로

• x=2는 2보다 크지 않아서 제외한다.
• x=3은 2보다 크므로 남긴다.

따라서 답은 x=3입니다. 이때 새로 여러 방법을 외우게 한 것이 아니라, 해를 적은 다음 원문 조건을 각 값에 직접 적용한다는 기준 하나만 사용했습니다. 조건이 식 아래에 묻히지 않도록, 학생은 해 옆에 동그라미와 엑스 표시를 나누어 적었습니다.

표현을 바꾼 문제에서 다시 선택하기

며칠 뒤에는 같은 숫자를 반복하지 않고, 조건의 위치와 질문 방향을 바꾼 문제를 제시했습니다.

방정식 y²+y-12=0의 두 해 중에서, 수직선에서 -2의 오른쪽에 있는 해를 a, 왼쪽에 있는 해를 b라 할 때 a-b의 값을 구하여라.

이번에는 학생이 먼저 문제의 선택 기준을 표시했습니다. “오른쪽은 -2보다 큰 값, 왼쪽은 -2보다 작은 값”이라고 적은 뒤 식을 풀었습니다.

y²+y-12=0
(y+4)(y-3)=0
y=-4 또는 y=3

두 해를 구한 뒤 -2와 비교하면 3은 -2보다 크고, -4는 -2보다 작습니다. 따라서 a=3, b=-4이고, a-b=3-(-4)=7입니다.

이번 문제에서는 특정 해를 고르는 조건이 문제 중간에 있었고, 마지막에는 선택한 두 해의 차를 물었습니다. 그래도 학생은 예제의 순서를 따라 답을 고르지 않고, 먼저 적어 둔 기준에 따라 각각을 판정했습니다. 핵심은 방정식을 푸는 방법을 새로 확장하는 것이 아니라, 구한 값이 문제의 조건에 적합한지 확인하는 과정을 놓치지 않는 데 있었습니다.

힌트 없이 남긴 검산 기록

한 주 뒤, 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.

t²-7t+10=0의 해 중 t≤2인 값을 구하여라.

학생은 조건을 먼저 읽고 t≤2를 식 옆에 적었습니다.

t²-7t+10=0
(t-2)(t-5)=0
t=2 또는 t=5

이후 “2는 2 이하이므로 가능, 5는 2 이하가 아니므로 제외”라고 설명했습니다. 마지막에는 선택한 값 t=2를 원래 방정식에 대입하여 2²-7×2+10=0, 즉 4-14+10=0임을 확인했습니다. 동시에 조건도 2≤2로 성립한다고 말했습니다.

이제 학생은 답을 먼저 고른 뒤 이유를 붙이지 않습니다. 해를 모두 적고, 원문 조건과 하나씩 비교한 다음, 남긴 값이 방정식에도 맞는지 대입합니다. 양산지구중3수학과외에서 다룬 이번 사건의 기준은 하나입니다. 해를 구한 뒤, 조건에 맞지 않는 값을 반드시 제외하고 남은 값을 검산한다.