양산지구 중2수학과외

대입법에서 식을 정리하는 첫 판단

양산지구과외 수업에서 학생의 연립일차방정식 풀이를 거꾸로 확인하던 중, 계산 실수보다 앞선 선택에서 문제가 시작된 장면이 보였습니다. 양산지구중2수학과외를 진행하며 살펴본 문제는 두 조건을 식으로 나타낸 뒤 대입법으로 해결하는 문항이었습니다.

“두 식 중 아무 식이나 먼저 대입하면 되니까, y=2x-3을 바로 넣으면 되죠?”

학생은 문제의 두 조건을 각각 식으로 옮긴 뒤, 한 식을 2x-y=3, 다른 식을 y=2x-3으로 적었습니다. 이어 첫 번째 식에 두 번째 식을 넣으려 했지만, 실제로는 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하는 것이 아니라 첫 번째 식의 y를 그대로 남겨 두고 계산을 진행했습니다. 결과표에는 x와 y가 모두 나온 것처럼 적혀 있었으나, 원래 두 식에 넣어 보자 값이 맞지 않았습니다.

오답보다 먼저 찾아낸 선택

학생이 처음 잘못 판단한 부분은 계산 부호가 아니었습니다. 대입할 식과 대입될 식을 구분하지 않은 것이 먼저였습니다. y에 대한 식이 이미 만들어져 있는데도, 어느 식에서 y를 없앨지 정하지 않고 식 전체를 동시에 다루려 한 것입니다.

수업에서는 이미 정확했던 문제의 조건 읽기와 두 식 세우기는 그대로 유지했습니다. 대신 대입 직전에 한 줄만 남겼습니다.

“한 미지수의 식을 만든 뒤, 그 문자를 없앨 식에 통째로 넣는다.”

학생은 먼저 y=2x-3에 동그라미를 치고, 이 식이 y를 대신 나타내는 식임을 표시했습니다. 다음으로 2x-y=3에서 y 자리에 괄호를 사용해 2x-(2x-3)=3이라고 썼습니다. 괄호 앞의 마이너스에 밑줄을 긋고, 2x-2x+3=3으로 정리한 뒤 양변이 같은 식이 되어 x를 구할 수 없는 상황임을 확인했습니다. 이때 식을 잘못 옮긴 것이 아니라 두 식이 같은 내용을 표현한 것임을 알아차리고, 문제에 적힌 실제 두 식을 다시 읽었습니다.

실제 조건에서 얻은 식은 3x+y=11, y=x+3이었습니다. 학생은 이번에는 y=x+3을 대입할 식으로 표시하고, 첫 번째 식의 y 자리에 넣었습니다.

• 3x+y=11
• 3x+(x+3)=11
• 4x=8, 따라서 x=2
• y=x+3에 x=2를 넣어 y=5

마지막에 학생은 x=2, y=5를 두 원래 식에 각각 대입했습니다. 3×2+5=11, 5=2+3이 모두 성립하자, 대입 전에는 한 미지수의 식을 먼저 정해야 한다는 판단을 풀이 옆에 직접 적었습니다.

식이 아닌 표와 문장으로 바꿔 적용하기

같은 판단을 숫자만 바꾸어 반복하지 않도록 문제의 모양을 바꾸었습니다. 이번에는 두 상품의 개수와 금액을 표로 제시하고, “두 상품을 합쳐 7개이고 금액은 20,000원”이라는 문장과 “한 상품은 다른 상품보다 2,000원 비싸다”는 조건을 함께 주었습니다. 학생은 표의 미지수를 각각 x, y로 정한 뒤 조건을 식으로 옮겼습니다.

x+y=7, y=x+2를 세운 학생은 질문이 ‘각 상품의 가격’을 묻는다는 점을 확인하고, y=x+2를 첫 번째 식에 대입했습니다. x+(x+2)=7에서 x를 구하고, 다시 y 식에 넣어 값을 얻었습니다. 이번에는 계수가 분수로 제시된 식도 함께 다뤘습니다. 0.5x+y=6, y=8-x에서는 y 식을 먼저 고른 뒤 0.5x+(8-x)=6으로 바꾸어 계산했습니다. 소수 계수를 없애려고 임의로 식을 바꾸지 않고, 대입할 문자와 남길 식을 먼저 표시했습니다.

도움 없이 다시 세운 첫 줄

두 직선의 교점에서 y좌표를 먼저 구하라는 문항에, 학생은 다음과 같은 두 식을 받았습니다.

0.25x+y=5,   y=2-x

학생은 별도 힌트 없이 두 번째 식의 y를 동그라미 치며 “y를 이미 정리한 식이므로 첫 번째 식의 y에 넣는다”고 설명했습니다. 0.25x+(2-x)=5를 만든 뒤 부호를 확인하고, x와 y를 차례로 계산했습니다. 마지막에는 구한 값을 두 원래 식에 각각 대입해 좌변이 모두 5가 되는지 검산했습니다. 또한 “대입법의 첫 판단은 계산 시작이 아니라 한 미지수를 나타낸 식을 찾아 다른 식에 넣는 것”이라고 풀이 이유까지 스스로 말했습니다.