주월동 고등수학과외

주월동 고등수학과외에서는 로그방정식을 풀 때 계산 속도보다 정의역을 먼저 확인하는 습관을 살핀다. 대광여자고등학교와 서진여자고등학교 학생이 함께 공부하는 장면에서도 자주 드러나는 실수는 로그의 진수 조건과 지수식의 정의를 한 규칙으로 처리하는 것이다. 주월명지아파트와 이야기꽃도서관 생활권에서 학습하는 한 학생은 식을 보자마자 밑을 없애려 했고, 그 과정에서 조건을 적는 순서가 답을 바꾸는 것처럼 받아들였다.

지수식 안에 있다고 모두 진수 조건이 되는 것은 아니다

학생에게 제시한 식은 log₁₁(11^x-9)=4였다. 학생은 여백에 곧바로 “진수 조건: x-9>0, 따라서 x>9”라고 적었다. 여기서 첫 오류가 생겼다. 진수는 로그 괄호 안의 11^x-9 전체이지, 지수에 있는 x-9가 아니다. 밑 11은 양수이고 어떤 실수 x에 대해서도 11^x-9>0이므로 이 식의 정의역은 모든 실수다.

그다음 로그의 성질을 적용하면 x-9=4, 따라서 x=13이다. 학생의 방식처럼 x>9를 먼저 제한해도 이번 해는 우연히 남지만, 그 조건을 일반 규칙으로 외우면 해를 잘못 버릴 수 있다. 예를 들어 log₁₁(11^x-9)=-3의 해는 x=6이다. 실제 진수는 11^-3으로 양수이므로 허용되지만, 잘못 세운 x>9 때문에 정답을 지우게 된다.

조건을 식의 위치별로 분리해 기록하기

교정할 때는 “로그의 괄호 안을 하나의 덩어리로 본다”는 원칙을 사용했다. log₁₅(x-7)=2라면 진수 조건은 x-7>0, 즉 x>7이다. 그러나 log₁₅(225)=2에서는 진수가 이미 225라는 양수로 정해져 있어 x에 대한 조건이 없다. 두 식을 나란히 적고, 미지수가 괄호 안에 실제로 들어 있는지 표시하게 했다.

또 하나의 비교식으로 log₆(x-2)=2를 풀게 했다. 학생은 먼저 x-2=36을 얻어 x=38을 구한 뒤, 마지막에 x>2를 확인했다. 이번에는 조건을 삭제하지 않고 해와 정의역의 교집합을 확인했다. 반대로 log₆(36)=2에는 x가 없으므로 x>2를 붙일 이유가 없다. 조건을 먼저 쓰는 습관은 유용하지만, 어떤 대상의 조건인지 구별해야 한다.

조건이 바뀐 문제에서 혼자 설명하기

다음에는 지수의 밑과 지수를 바꾼 log₅(5^2x+1)=7을 제시했다. 학생은 진수 5^2x+1가 모든 실수 x에서 양수임을 먼저 설명하고, 별도의 부등식을 만들지 않았다. 이후 2x+1=7에서 x=3을 얻었다. 같은 유형이라도 log₅(2x-1)=3에서는 진수 조건 x>1/2을 세운 뒤 2x-1=125를 풀어 x=63을 얻어야 한다.

학생이 두 문제의 차이를 말로 설명하도록 하자 “지수식의 값은 밑이 양수이면 항상 양수이고, 일차식이 직접 로그 괄호에 있으면 그 일차식이 양수여야 한다”고 정리했다. 계산 결과만 적을 때보다 조건이 발생한 위치를 문장으로 설명할 때 오류가 빠르게 줄었다.

마지막에는 원래 식에 다시 넣는다

x=6을 얻은 log₁₁(11^x-9)=-3을 다시 확인하면 왼쪽은 log₁₁(11^-3)=-3이므로 성립한다. 또한 11^-3>0이어서 정의역에도 들어간다. 반면 임의로 x>9를 적용했다면 이 해를 누락하게 된다. 해를 구한 뒤 원식의 로그 진수, 밑의 조건, 계산 결과를 따로 확인하는 과정이 로그방정식의 최종 검증이 된다.

자주 묻는 점

• 지수식은 언제나 정의되나요?
  밑이 양수인 일반적인 지수식은 모든 실수 지수에서 정의된다. 다만 밑이 0이거나 음수이면 별도 검토가 필요하다.
• 로그의 진수 조건은 언제 적나요?
  로그 괄호 안에 미지수가 포함되어 있을 때 그 식이 0보다 커야 한다.
• 조건을 마지막에 확인해도 되나요?
  가능하지만, 먼저 적어 두면 변형 과정에서 허용되지 않는 값을 해로 착각하는 일을 줄일 수 있다.
• 해가 조건을 만족하면 충분한가요?
  원래 로그식에 대입해 등식까지 성립하는지 확인해야 최종 답으로 확정할 수 있다.