하남지구 중2수학과외
연립일차방정식 대입법에서 첫 선택을 되짚은 수업
하남지구과외 수업에서 학생은 연립일차방정식의 오답노트를 펼쳐 놓고, 정답만 고치는 대신 풀이가 갈라진 지점을 거꾸로 찾았다. 하남주공1단지와 이야기꽃도서관이 있는 생활권의 중학교 문제를 참고했지만, 특정 학교의 시험이나 학생 수준을 전제로 하지는 않았다.
완성된 오답을 뒤에서부터 읽다
문제는 다음과 같았다.
연필 한 자루와 공책 한 권의 가격을 합하면 2,300원이고, 연필 2자루와 공책 3권의 가격을 합하면 6,100원이다. 연필과 공책 한 권의 가격을 각각 구하여라.
학생은 연필 가격을 x원, 공책 가격을 y원으로 표시하고 두 식을 적었다.
x + y = 2300
2x + 3y = 6100
첫 번째 식에서 x = 2300 - y라고 옆에 정리한 뒤, 두 번째 식에 대입해야 했다. 그러나 학생의 오답에는 두 번째 식을 x = 2300 - y에 넣은 흔적이 남아 있었다. 즉, 2x + 3y에 식을 넣지 않고 ‘남겨 둘 식’과 ‘대입할 식’을 거꾸로 선택한 것이다.
학생은 뒤에서부터 계산을 따라가며 2(2300 - y) + 3y = 6100이라는 줄을 발견했다. 이 식 자체의 계산은 맞았지만, 바로 앞에서 x를 없애려는 목적에 맞게 첫 번째 식의 x 표현을 두 번째 식에 넣어야 한다는 판단이 흐려진 것이 최초의 분기점이었다. 뒤의 정리와 계산만 다시 하는 것으로는 오류가 고쳐지지 않는 이유도 함께 확인했다.
대입 직전 한 줄만 바꾸기
전체 풀이를 지우지 않고, 대입 직전의 두 식에 역할을 붙였다. 학생은 첫 번째 식 옆에 ‘x를 표현한 식’, 두 번째 식 옆에 ‘x를 없앨 식’이라고 적었다. 그런 다음 x = 2300 - y를 두 번째 식의 x 자리에 넣었다.
2(2300 - y) + 3y = 6100
4600 - 2y + 3y = 6100
y = 1500
학생은 구한 y를 첫 번째 식에 다시 넣어 x + 1500 = 2300, x = 800을 얻었다. 여기서 풀이를 끝내지 않고 두 원래 식에 각각 대입했다.
- 800 + 1500 = 2300
- 2 × 800 + 3 × 1500 = 6100
두 식이 모두 성립하자 학생은 ‘정리된 식에 넣는 것’이 아니라 ‘한 미지수를 표현한 식을 다른 원래 식에 넣어 한 미지수를 없애는 것’이 이번 판단의 핵심이라고 자신의 말로 기록했다. 이미 맞았던 미지수 표시와 계산 순서는 그대로 두고, 대입할 식과 남길 식의 역할만 바로잡았다.
식이 아닌 표와 문장으로 바꾼 적용
다음 문제에서는 식을 바로 주지 않고 가격표와 문장으로 제시했다.
민지는 같은 가격의 음료 2개와 샌드위치 1개의 값을 합해 8,000원을 냈다. 준호는 음료 1개와 샌드위치 2개의 값을 합해 7,000원을 냈다. 음료와 샌드위치의 가격을 구하여라.
학생은 음료를 x, 샌드위치를 y로 정한 뒤 문장 순서와 다르게 표를 만들었다.
- 음료 2개, 샌드위치 1개: 2x + y = 8000
- 음료 1개, 샌드위치 2개: x + 2y = 7000
이번에는 y = 8000 - 2x로 정리하고, 두 번째 식의 y 자리에 이 식을 대입했다.
x + 2(8000 - 2x) = 7000
-3x = -9000
x = 3000, y = 2000
질문이 ‘음료와 샌드위치의 가격’으로 바뀌었으므로 답의 순서도 문장에 맞춰 음료 3,000원, 샌드위치 2,000원이라고 적었다. 음수 부호가 생긴 줄에서는 -4x와 x를 합쳐 -3x가 되는지 손가락으로 항을 짚으며 확인했다.
힌트 없이 선택 이유를 말한 최종 확인
수업 끝에 학생은 새로운 문제를 받았다.
두 수의 합은 17이고, 첫 번째 수의 3배에서 두 번째 수를 뺀 값은 7이다. 두 수를 구하여라.
학생은 도움을 기다리지 않고 첫 번째 수를 x, 두 번째 수를 y로 두었다.
x + y = 17
3x - y = 7
곧바로 x = 17 - y를 적은 뒤 “x를 y로 나타낸 첫 번째 식을 두 번째 식에 넣으면 x가 사라진다”고 설명했다.
3(17 - y) - y = 7
51 - 4y = 7
y = 11, x = 6
학생은 계산 결과를 두 원래 식에 넣어 6 + 11 = 17, 3 × 6 - 11 = 7을 확인했다. 특히 “대입 전에는 어느 식이 미지수를 표현한 식인지, 어느 식에서 그 미지수를 없앨지 먼저 정한다”고 말하며, 이전 오답에서 거꾸로 선택했던 첫 판단을 스스로 재현하고 설명했다. 이 과정은 하남지구중2수학과외에서 연립일차방정식의 대입법을 점검할 때 활용할 수 있는 실제 풀이 장면이다.