월곡동 중2수학과외

월곡동 중2수학과외에서 거꾸로 확인한 일차부등식의 첫 판단

월곡동과외 수업에서 학생은 ‘정해진 양을 넘지 않게 하려면 물건을 최대 몇 개 살 수 있는가’라는 일차부등식 문제를 풀었다. 영천마을9단지가 있는 생활권과 월곡중학교가 포함된 지역에서 자주 접할 수 있는 생활 장면처럼, 일정한 금액 안에서 선택할 수 있는 물건의 개수를 묻는 문제였다. 계산 결과보다 중요한 것은 최대 조건을 부등식으로 옮긴 뒤, 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향을 바르게 판단하는 것이었다.

완성된 풀이를 지우지 않고 뒤에서부터 읽기

문제의 조건은 ‘한 개에 3,000원인 물건을 x개 사고, 배송비 2,000원을 더해도 총액이 17,000원을 넘지 않는다’였다. 학생은 먼저 다음처럼 식을 세웠다.

3000x+2000≤17000

그런데 풀이 중간부터 적힌 흔적에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.

3000x≤15000
x≥5

학생은 마지막에 x가 5 이상이라고 적고, 최대 개수를 5개라고 결론 냈다. 답만 보면 숫자가 우연히 그럴듯했지만, 학생은 풀이 중간식을 가린 뒤 마지막 줄에서 거꾸로 올라가며 결과가 바뀐 지점을 찾았다. 3000으로 나눈 직후에는 부등호가 바뀔 이유가 없는데, 자신이 x≥5라고 적은 줄에서 방향이 달라졌다는 것을 표시했다.

여기서 발견한 최초의 오류는 ‘계산을 틀렸다’가 아니었다. 양수 3000으로 나눌 때도 부등호 방향을 뒤집어야 한다고 선택한 판단이 결과를 처음 어긋나게 만든 것이다. 음수로 나누는 경우와 양수로 나누는 경우를 구별하지 않은 채, 앞에서 배운 부등호 변화 규칙을 모든 나눗셈에 적용했다.

처음 어긋난 한 줄만 바로잡기

학생은 이미 맞게 적은 첫 식과 2,000을 이항한 과정은 그대로 두었다. 교사는 계산 전체를 다시 쓰게 하지 않고, 문제가 발생한 줄 앞에 ‘나누는 수의 부호’를 적게 했다.

3000x≤15000
양수 3000으로 나눔 → x≤5

부등호 방향이 바뀌는 경우를 무조건 외우는 대신, 수직선에서 양수로 크기를 나누면 수의 순서가 그대로 유지된다는 점을 해당 줄에 붙여 확인했다. 따라서 5개까지 가능하다는 뜻은 x≤5이고, 물건의 개수는 자연수이므로 최대 개수는 5개이다.

이어서 학생은 경계값 5를 원래 조건에 직접 넣었다.

3000×5+2000=17000

총액이 한도와 같으므로 ‘넘지 않는다’는 조건을 만족한다. 반대로 6을 넣으면 20,000원이 되어 한도를 넘는다. 학생은 경계값을 단순히 답으로 적지 않고, 원래 부등식과 한 개 더 큰 값을 각각 대입해 최대라는 표현을 검산했다.

식을 가린 변형 문제에서 다시 찾은 판단

같은 개념을 숫자만 바꾸지 않기 위해 이번에는 문장과 표를 섞어 제시했다. 표에는 기본 이용료가 5,000원이고, 추가 이용 시간 1시간마다 2,000원이 붙으며, 총 이용 금액은 13,000원을 넘을 수 없다고 적었다. 식을 바로 보여 주지 않고 학생에게 ‘추가 시간을 x시간이라 할 때 가능한 범위’를 문장으로 먼저 설명하게 했다.

학생은 표의 고정 금액 5,000원과 시간에 따라 달라지는 금액 2,000x를 분리해 적었다.

5000+2000x≤13000

이후 양변에서 5,000을 빼고 2,000으로 나누어 x≤4를 얻었다. 교사는 중간식 일부를 가리고, ‘만약 양변을 -2,000으로 나누었다면 어떻게 될까?’라고 물었다. 학생은 그 경우에만 부등호 방향이 반대가 된다고 말하고, 이번 문제에서는 나누는 수가 양수이므로 방향을 유지한다고 설명했다. 문장이 표로 바뀌었지만, 고정된 양과 변화하는 양을 나눈 뒤 부등호 방향을 결정하는 판단은 같은 방식으로 재현했다.

힌트 없이 확인한 최종 장면

수업 끝에 학생은 ‘입장료 8,000원과 한 장당 1,500원인 체험권을 합쳐 14,000원 이하로 이용할 때 체험권을 최대 몇 장 살 수 있는가’라는 새 문제를 받았다. 이번에는 식을 세우기 전, ‘이하는 오른쪽 값보다 작거나 같음’이라고 표시하고 체험권 수를 x로 정했다.

8000+1500x≤14000
1500x≤6000
x≤4

학생은 “1,500은 양수라서 나눌 때 부등호를 유지했다. x=4이면 14,000원으로 경계에 닿고, x=5이면 15,500원이 되어 조건을 넘으므로 최대는 4장이다”라고 풀이 이유와 검산 근거를 스스로 말했다. 도움 없이 첫 부등식의 방향을 세우고, 마지막 수직선 표시와 원래 식 대입까지 연결한 것이다.

월곡동중2수학과외에서 확인한 변화는 답을 빨리 찾은 장면이 아니라, 부등호가 처음 어긋나는 위치를 찾아 그 한 줄의 판단을 설명한 장면에 있었다.