팔공산 고등수학과외

신천역 주변 생활권에서 통학한 뒤 풀이를 이어 가던 학생에게도 이 단원은 계산보다 ‘어떤 값이 입력이고 어떤 값이 출력인가’를 구별하는 과정에서 자주 멈추는 내용이었다.

점 하나를 읽는 데서 시작된 오류

문제에는 함수 f에 대하여 f(4)=6이라는 조건이 제시되어 있었다. 학생은 먼저 “4를 넣었더니 6이 나왔다”고 정확히 적었다. 식으로는 입력값 4가 정의역에 속하고, 출력값 6이 치역에 속한다는 뜻이었다. 그래프에서는 좌표 (4, 6)을 나타내면 된다.

오류는 그다음 줄에서 처음 나타났다. 학생은 그래프의 세로축 값 6을 보고 “치역은 4이고 정의역은 6”이라고 뒤집어 썼다. 식에서 f(4)의 괄호 안 숫자와 함수값을 그래프의 가로·세로 좌표에 옮기는 순간 순서가 바뀐 것이다. 풀이 옆에는 ‘입력·출력 위치 혼동’이라는 오류유형 태그를 남겼다. 단순 계산 실수가 아니라 식과 그래프를 번역하는 단계에서 생긴 오류임을 분명히 하기 위해서였다.

식과 그래프를 따로 외우지 않는 교정

교정할 때는 f(4)=6을 곧바로 그림으로 옮기지 않고 세 문장으로 분해했다.

• 입력값은 괄호 안의 4이다.
• 함수값은 등호 오른쪽의 6이다.
• 그래프에서는 가로좌표가 4, 세로좌표가 6이므로 점은 (4, 6)이다.

이후 학생은 식 옆에 ‘x값→y값’, 그래프 옆에 ‘가로→세로’를 적고 같은 조건을 다시 연결했다. 그래프에서 점을 읽을 때도 먼저 가로축에서 4를 찾은 뒤 세로축으로 올라가 6을 확인했다. 반대로 점 (4, 6)을 식으로 바꾸면 f(4)=6이 된다는 점까지 재작성하면서, 정의역과 치역을 숫자의 크기로 판단하지 않도록 했다.

정의역은 함수에 넣을 수 있는 입력값의 모임이고, 치역은 실제로 얻어진 함수값들의 모임이다. f(4)=6은 정의역 전체와 치역 전체를 각각 하나씩 결정하는 문장이 아니라, 특정 입력과 그 출력의 대응을 보여 주는 조건이다.

보기 제거를 포함한 새 문제 적용

교정 뒤에는 수치만 바꾼 문제가 아닌, 보기 판단이 필요한 문제를 혼자 풀게 했다. 함수 g의 정의역이 {−2, 0, 3}이고 g(−2)=5, g(0)=1, g(3)=−4일 때 옳은 설명을 고르는 방식이었다. 학생은 먼저 대응쌍을 (−2,5), (0,1), (3,−4)로 정리했다. 따라서 정의역은 {−2,0,3}, 치역은 {5,1,−4}이며, 순서를 바꾸어 쓰더라도 집합에서는 같은 원소를 뜻한다는 점을 확인했다.

보기에서 “(5,−2)가 그래프 위의 점이다”라는 문장은 제거했다. 입력 5가 정의역에 없기 때문이다. “g(3)=−4”는 남겼고, “치역의 원소가 모두 양수다”라는 보기 역시 −4 때문에 제외했다. 이번에는 f(4)=6의 숫자만 기억해서 푸는 대신, 정의역 확인과 좌표 방향 판단을 각각 수행했다.

정의역 밖의 값을 넣어 보는 검증

마지막에는 정답을 다시 설명하는 대신 반례를 만들었다. 위 함수에서 g(1)을 물으면 표에 1이 입력값으로 없고, 정의역에도 1이 포함되지 않는다. 따라서 주어진 함수만으로 g(1)을 정할 수 없으며, 임의로 값을 적으면 안 된다. 그래프에서도 x=1에 대응하는 점이 없으므로 함수값을 읽을 수 없다.

학생은 이 반례를 통해 치역에 없는 값을 고르는 문제와 정의역 밖 값을 대입하는 문제를 구분했다. 또 점 (3,−4)를 식에 재대입해 g(3)=−4가 맞는지 확인하고, 점의 좌표를 (−4,3)으로 바꾸면 입력과 출력이 뒤집혀 원래 조건을 재현하지 못한다는 사실도 확인했다. 식, 그래프, 보기, 정의역 밖 대입이 같은 대응 관계를 가리키는지 검증하면서 풀이를 마무리했다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

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자주 묻는 질문

• f(4)=6에서 4는 무엇인가요?
  함수에 넣은 입력값이며, 정의역의 원소입니다.
• 6이 항상 치역 전체를 뜻하나요?
  아닙니다. f(4)=6은 6이 해당 입력에서 나온 함수값이라는 뜻입니다.
• 그래프에서 (4,6)을 왜 읽나요?
  가로좌표가 입력 4, 세로좌표가 출력 6이기 때문입니다.
• 정의역에 없는 값을 대입하면 어떻게 되나요?
  주어진 함수에서는 그 입력에 대한 함수값을 정할 수 없습니다.
• 치역의 원소 순서는 중요한가요?
  집합으로 나타낸 치역은 원소의 나열 순서가 달라도 같은 집합입니다.