비하동 중2수학과외
여사건으로 확률을 다시 읽는 중2 수학 과외
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같은 사건을 그래프와 문장으로 읽다가 생긴 중복
수업 자료에는 주머니에서 공을 한 번 꺼내는 상황이 제시되어 있었다. 전체 공은 빨간 공 3개, 파란 공 2개, 초록 공 1개였고, 질문은 ‘빨간 공이 아닌 공을 뽑을 확률’을 구하는 것이었다. 학생은 먼저 빨간 공이 나오는 경우를 3개로 표시한 뒤, 그림 옆에 파란 공 2개와 초록 공 1개를 따로 적었다.
그런데 문장으로 바뀐 두 번째 자료에서 학생은 ‘빨간색이 아니면서 파란색이 아닌 공’이라는 표현을 보고 파란 공과 초록 공을 다시 각각 세었다. 이어 첫 번째 그림에서 표시했던 ‘빨간 공이 아닌 경우’를 그대로 가져와 분자에 겹쳐 적었다. 계산 과정에는 2+1+3이라는 표시가 남았고, 전체 6개보다 원하는 경우가 많아지는 순간에도 계산을 멈추지 않았다.
표현이 그림에서 문장으로 바뀌었지만, 같은 공을 서로 다른 이름으로 다시 센 것이 최초의 판단 오류였다.
처음부터 반대 사건을 한 덩어리로 묶기
교정에서는 이미 적어 둔 전체 경우 6개와 빨간 공 3개라는 표시는 지우지 않았다. 대신 ‘빨간 공이 아닌 사건’의 뜻을 먼저 한 줄로 고정했다. 빨간 공이 아닌 공은 파란 공 또는 초록 공이므로, 원하는 경우는 2+1=3개다. 빨간 공이 나오는 사건과 빨간 공이 나오지 않는 사건은 서로 겹치지 않고 전체 공을 빠짐없이 나눈다.
그래서 학생은 두 방법을 나란히 적었다.
- 직접 세기: 원하는 경우 3개, 전체 경우 6개이므로 확률은 3/6
- 여사건 이용: 빨간 공이 나올 확률은 3/6이므로 빨간 공이 나오지 않을 확률은 1-3/6
두 계산이 모두 1/2가 되는지 확인한 뒤, 학생은 ‘분모에는 전체 경우, 분자에는 서로 겹치지 않게 모은 원하는 경우’를 적었다. 여사건을 사용할 때도 원래 사건과 반대 사건이 전체를 이루는지 먼저 확인해야 한다는 교정만 적용했다. 이미 맞게 적은 전체 공의 수와 빨간 공의 수는 그대로 유지했다.
숫자를 없애고 조건의 방향을 바꾼 적용
다음 문제는 숫자 목록 대신 문장과 표로 제시했다. 카드 한 장에는 A, B, C, D 중 하나가 적혀 있고, 각 글자가 적힌 카드 수는 표에 나타나 있었다. 질문은 ‘A가 아닌 카드가 나올 확률’이 아니라 ‘A가 나올 확률의 여사건을 이용하여 A가 아닌 카드의 확률을 설명하라’였다.
학생은 표의 모든 카드 수를 먼저 합쳐 전체 경우를 만들었다. 그 다음 A의 카드 수만 따로 세어 A가 나올 확률을 적고, 표의 B·C·D를 다시 세지 않은 채 1에서 그 값을 뺐다. 이번에는 질문의 순서가 바뀌었지만, ‘A가 나오는 사건’과 ‘A가 나오지 않는 사건’이 서로 겹치지 않으며 전체를 나눈다는 이유를 문장으로 설명했다.
또 다른 자료에서는 ‘적어도 한 번은 파란 공이 나온다’라는 조건을 다뤘다. 학생은 이를 곧바로 파란 공의 경우만 세지 않고, 먼저 여사건인 ‘한 번도 파란 공이 나오지 않는다’를 정리했다. 두 번 뽑는 표에서 파란 공이 없는 칸을 표시한 뒤 전체 칸에서 그 수를 빼는 방식으로 답을 구성했다. 같은 숫자를 반복한 문제가 아니라, 그림에서 표로, ‘아닌 경우’에서 ‘적어도 한 번’으로 표현이 달라진 상황이었다.
힌트 없이 세운 첫 판단과 검산
수업의 독립 확인 문제에서 학생은 ‘네 면이 같은 횟수로 나뉜 회전판을 두 번 돌릴 때, 적어도 한 번 4가 나올 확률’을 만났다. 도움을 요청하지 않고 먼저 전체 결과를 4×4개의 순서 있는 경우로 잡았다. 이어 여사건을 ‘두 번 모두 4가 아닌 경우’라고 정한 뒤, 각 회전에서 4가 아닌 선택이 3개이므로 여사건의 경우가 3×3개라고 설명했다. 따라서 구하는 확률은 전체에서 여사건의 확률을 뺀 값이라고 스스로 정리했다.
학생은 마지막으로 두 가지를 검산했다. 4가 나오는 경우가 하나도 없는 상황을 여사건에 넣었는지 확인했고, 구한 값이 0과 1 사이인지 살폈다. 또한 ‘적어도 한 번’에는 한 번 나오는 경우와 두 번 나오는 경우가 함께 들어가므로, 두 사건을 따로 더해 중복시키지 않고 반대 사건을 빼는 것이 안전하다고 설명했다. 비하동과외 수업에서 시작된 이 판단은 비하동중2수학과외의 새 문제에서도 힌트 없이 재현되었다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
중등 수학
개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.
중2 점검 기준
이미 배운 내용을 변형된 문장이나 문제에 적용하는 과정과 서술형에서 빠진 근거를 확인합니다.
수업 진행 예시
문장 조건을 식으로 옮기기
어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.
괄호와 부호 확인하기
2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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