비하동 중1수학과외

비하동 중1수학과외에서 자료를 읽는 순서를 다시 세우다

이번 학생의 오답은 계산보다 먼저 확인해야 할 말을 놓친 데서 시작됐다. 주제는 변량, 도수, 계급, 전체 도수를 구별하고 표와 그래프로 옮기는 일이었다.

한 줄의 표에서 시작된 혼동

학생에게 다음과 같은 학급 조사표를 제시했다.

• 통학 시간의 구간: 0분 이상 10분 미만, 10분 이상 20분 미만, 20분 이상 30분 미만, 30분 이상 40분 미만
• 각 구간의 학생 수: 5명, 9명, 7명, 3명

학생은 공책에 “변량은 5, 9, 7, 3이고 도수는 0~10, 10~20, 20~30, 30~40”이라고 적었다. 이어서 전체 학생 수를 40이라고 계산하고, 히스토그램의 가로축에는 5, 9, 7, 3을 표시하려 했다. 풀이가 어긋난 최초의 판단은 자료의 값과 그 값이 나타난 횟수를 뒤집어 적은 것이었다. 숫자 자체를 더하는 과정은 그 뒤에 생긴 결과였다.

학생의 오답 표시 옆에 세 칸을 새로 그렸다. 첫째 칸에는 조사한 대상의 수치인 ‘통학 시간’, 둘째 칸에는 그 수치를 묶은 범위인 ‘0분 이상 10분 미만’과 같은 계급, 셋째 칸에는 그 계급에 들어간 학생 수인 도수를 적었다. 그러자 5, 9, 7, 3은 도수이고, 계급은 시간의 구간이라는 점이 분리되었다.

변량은 조사하려는 값이고, 계급은 변량을 묶은 구간이며, 도수는 그 구간에 들어간 자료의 개수이다.

이 문장을 그대로 외우게 하지 않고 표에 다시 적용했다. 20분 이상 30분 미만은 계급, 그 안의 학생 7명은 도수, 네 계급의 도수를 모두 더한 24명은 전체 도수라고 말하게 했다. 히스토그램을 그릴 때도 가로축에 시간 구간을 순서대로 쓰고, 세로축의 높이를 5, 9, 7, 3으로 정했다. 표의 도수 합계와 그래프 막대 높이의 합계가 모두 24인지 확인하면서 표현 사이의 대응을 맞췄다.

표를 그래프로 바꿀 때 확인한 것

다음 문제에서는 표 대신 문장으로 조건을 제시했다. “25명의 학생이 하루에 읽은 책의 쪽수를 조사하여 0쪽 이상 20쪽 미만, 20쪽 이상 40쪽 미만, 40쪽 이상 60쪽 미만으로 나누었다. 각 구간의 학생 수는 6명, 11명, 8명이다.” 학생은 이번에는 문장에서 숫자만 찾아 바로 막대를 그리지 않았다.

먼저 문장 속 ‘쪽수’가 변량임을 표시하고, 세 범위를 계급으로 옮긴 뒤, 6명·11명·8명을 도수로 표에 정리했다. 전체 도수는 6+11+8=25로 원래 조건과 일치했다. 그 후 표를 히스토그램으로 바꾸어 각 계급의 막대 높이를 정하고, 계급의 순서를 바꾸지 않았다. 같은 자료를 도수분포다각형으로 나타낼 때에는 각 계급의 가운데 값을 가로축 위치로 삼고 도수를 세로축 값으로 대응시켰다.

이 과정에서 학생은 앞서 했던 모양을 복사하지 않고, 표현이 문장에서 표로 바뀌었다는 점부터 확인했다. “막대 높이의 합은 전체 학생 수와 같아야 하고, 그래프의 각 막대는 표의 같은 계급과 연결되어야 한다”고 설명했다. 표와 그래프의 합계가 맞지 않으면 어느 계급의 도수를 잘못 옮겼는지 거꾸로 찾아볼 수 있다는 것도 직접 표시했다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

수업 끝부분에는 해설을 가린 채 새로운 자료를 주었다. 운동 횟수를 0회 이상 5회 미만, 5회 이상 10회 미만, 10회 이상 15회 미만으로 나눈 표에서 도수가 각각 4, 10, 6으로 제시된 문제였다. 학생은 먼저 ‘운동 횟수’는 변량, 세 범위는 계급, 4·10·6은 도수라고 적었다. 이어 전체 도수를 20으로 계산하고, 각 막대의 높이를 4, 10, 6으로 정했다.

표를 읽은 뒤에는 그래프를 거꾸로 확인했다. 첫 번째 막대가 0회 이상 5회 미만에 대응하는지, 세 번째 막대가 10회 이상 15회 미만에 대응하는지 살폈고, 막대 높이의 합 20이 표의 전체 도수와 같은지 검산했다. 서술형 답안에는 “도수는 구간에 포함된 자료의 개수이므로 그래프의 세로 높이로 나타내며, 모든 도수의 합은 조사한 전체 자료 수가 된다”고 썼다.

비하동과외 수업에서 확인한 변화는 정답을 맞힌 사실보다, 학생이 표현이 달라져도 변량·계급·도수·전체 도수의 자리를 먼저 구분했다는 점이다. 비하동중1수학과외에서도 표를 그래프로 옮긴 뒤 합계와 대응 구간을 다시 대조하는 습관을 중심에 두고 풀이를 이어갈 수 있다.