우동 중3수학과외
우동 생활권에서 확인한 인수분해의 한 기준
우동과외 수업에서 오답노트를 함께 펼쳤다. 해강중학교, 해운대중학교, 해운대여자중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 문제라도, 이번에는 여러 유형을 섞지 않고 x²-(a+b)x+ab 꼴을 계산 전에 판별하는 일만 다루었다. 경남마리나아파트와 부산광역시립해운대도서관 인근 생활권에서 공부하는 학생이라면 익숙할 법한 식이지만, 익숙하다는 이유로 인수를 바로 고르면 오류가 생길 수 있다.
오답노트에 남은 첫 줄
문제는 다음과 같았다.
x²-7x+12를 인수분해하시오.
학생은 식을 보자마자 오답노트에 다음과 같이 적었다.
12의 인수는 3과 4, 합은 7이므로 (x-3)(x+4).
이어 실제 계산에서는
(x-3)(x+4)=x²+x-12
라고 전개했다. 이 전개 결과가 원래 식과 다르다는 점은 뒤늦게 발견했지만, 중요한 것은 전개 계산 자체가 아니었다. 계산을 시작하기 전, 학생은 ‘곱이 12이고 합이 7인 수’를 찾는 대신 3과 4를 선택한 뒤 부호를 따로 붙였다. 즉, 두 수의 조건을 한꺼번에 확인하지 않은 채 인수를 정한 것이 가장 먼저 어긋난 판단이었다.
인수를 고르기 전, 두 조건을 한 줄에 묶기
이 식은
x²-(a+b)x+ab
꼴로 볼 수 있다. 따라서 두 인수는 x-a와 x-b이고, 괄호 안의 두 수는 곱이 ab, 합이 a+b가 되어야 한다. 부호도 합의 부호와 곱의 부호에 함께 반영해야 한다.
원래 식 x²-7x+12에서는 a+b=7, ab=12이다. 12의 인수쌍을 먼저 적으면 다음과 같다.
- 1과 12: 합 13
- 2와 6: 합 8
- 3과 4: 합 7
따라서 선택할 수 있는 수는 3과 4이다. 가운데항이 -7x이므로 두 괄호에서는 모두 음수가 되어야 한다. 학생이 이미 확인한 인수쌍 선택은 유지하고, 빠졌던 부호 판단만 바로잡으면 된다.
x²-7x+12=(x-3)(x-4)
이번 교정에서 바꾼 행동은 하나다. 인수를 쓰기 전에 ‘곱: 12, 합: 7, 가운데항의 부호: 음수’라고 함께 표시하는 것이다. 전개하는 방법이나 계산 순서를 새로 바꾼 것이 아니라, 첫 선택의 근거만 정확히 적었다.
모양이 달라진 식에서 같은 기준 적용하기
다음 문제는 숫자만 바꾼 연습이 아니도록 식의 배열과 부호를 달리했다.
다음 식을 인수분해하시오.
x²+11x+30
학생은 먼저 상수항 30을 만드는 두 수를 찾고, 가운데항의 계수 11과 비교했다.
- 1과 30 → 합 31
- 2와 15 → 합 17
- 3과 10 → 합 13
- 5와 6 → 합 11
곱은 30이고 합은 11이므로 5와 6을 선택한다. 이번에는 가운데항이 +11x이고 곱도 양수이므로 두 수를 모두 양수로 둔다.
x²+11x+30=(x+5)(x+6)
학생은 단순히 앞 문제의 숫자를 바꾸어 기억하지 않고, 식에서 상수항과 가운데항을 각각 읽은 뒤 조건을 다시 세웠다. 같은 x²-(a+b)x+ab 꼴의 인수분해 안에서, 부호와 항의 표현이 달라져도 ‘곱과 합을 동시에 만족하는 두 수’를 고른 것이다.
힌트 없이 다시 확인한 풀이
며칠 뒤에는 다음 문제를 풀이 목록의 중간에 섞어 제시했다.
x²-2x-15를 인수분해하고, 결과를 전개하여 확인하시오.
이번에는 별도의 표시나 질문 없이 학생이 먼저 “곱은 -15, 합은 -2”라고 적었다. -15를 만드는 정수쌍을 살펴보면 3과 -5의 합이 -2이다. 따라서 두 괄호의 상수는 3과 -5가 된다.
x²-2x-15=(x+3)(x-5)
검산도 스스로 이어 갔다.
(x+3)(x-5)=x²-5x+3x-15=x²-2x-15
전개한 결과의 제곱항, 가운데항, 상수항이 처음 식의 세 항과 각각 일치한다. 학생은 “곱만 -15가 되는 쌍이 아니라 합까지 -2가 되는 쌍을 골랐고, 전개했을 때 가운데항이 -2x로 돌아오므로 맞다”고 설명했다. 우동중3수학과외에서 확인할 핵심도 바로 이 장면이다. 식의 모양을 보고 인수를 추측하는 데서 멈추지 않고, 두 조건을 동시에 선택한 뒤 원식으로 되돌려 검증하는 것이다.