우동 중2수학과외

우동 생활권 중2수학과외에서 확인한 부등식의 첫 판단

우동의 경남마리나아파트와 해운대LG아파트가 있는 생활권에서 중2 수학 과외를 진행하며, 학생이 부등식의 계산 순서를 어떻게 정하는지 살펴보았다. 해강중학교와 해운대중학교가 포함된 생활권의 시험 대비 문제를 풀 때도 핵심은 복잡한 계산보다 양변에 같은 수를 더한 뒤 해의 범위를 유지하는 판단이었다.

계산보다 먼저 표시한 것

학생은 다음 부등식을 보고 공책 왼쪽에 수직선을 그렸다.

−2x+5≤11

먼저 양변에서 5를 없애기 위해 양변에 −5를 더한다고 적었다. 왼쪽에는 −2x+5−5, 오른쪽에는 11−5를 써서 −2x≤6까지 계산했다. 여기까지는 부등식 양변에 같은 수를 더했으므로 부등호 방향을 바꾸지 않는다는 기준을 적용한 것이다. 학생은 수직선에서 아직 해를 표시하지 않고, x를 구하는 마지막 계산을 보류했다.

그런데 다음 줄에서 학생은 −2x≤6의 양변을 −2로 나누면서도 부등호를 그대로 두었다. 그래서 x≤−3이라고 적고, 수직선에서 −3의 왼쪽을 색칠했다. 답을 검산하려고 x=−4를 대입하자 −2×(−4)+5=13이 되어 13≤11이 성립하지 않았다.

처음 어긋난 판단만 고치기

오류는 5를 없앤 과정이 아니었다. 학생이 −2로 나누는 줄에서 음수로 나누는 사실을 계산보다 먼저 표시하지 않은 것이 최초의 잘못된 판단이었다. 이미 맞게 처리한 양변에 −5를 더하는 과정은 그대로 두고, 음수를 곱하거나 나누는 줄에만 부등호 방향이 바뀐다는 표시를 붙였다.

학생은 −2x≤6의 양변을 −2로 나누는 줄에 아래쪽 화살표를 그린 뒤 부등호를 반대로 적었다.

x≥−3

이번에는 경계값 −3을 원래 식에 넣어 −2×(−3)+5=11을 확인했다. 또 x=0을 넣으면 5≤11이므로 해에 포함되고, x=−4를 넣으면 13≤11이 아니므로 포함되지 않는다고 수직선의 오른쪽 색칠과 연결해 설명했다. 양변에 같은 수를 더할 때는 방향이 유지되고, 음수로 나눌 때만 방향이 바뀐다는 두 장면을 구분한 것이다.

표와 문장으로 바꾼 독립 적용

같은 숫자를 반복하지 않고 문제의 모양을 바꾸었다. 이번에는 수직선에 −1은 빈 동그라미, 오른쪽을 색칠한 그림을 먼저 제시하고 이를 부등식으로 나타내게 했다. 학생은 경계점이 포함되지 않으므로 >를 사용해야 한다고 말하며 다음과 같이 적었다.

x>−1

이어 “어떤 수에 4를 더해도 3보다 크다”라는 문장을 부등식으로 옮겼다.

x+4>3

학생은 양변에 −4를 더해 x>−1을 얻었다. 이번에는 계산 전에 ‘같은 수를 더하므로 방향 유지’라고 옆에 짧게 표시했다. 반대로 표에 적힌 조건이 −3x≤9로 주어졌을 때에는 음수 −3으로 나누는 줄에 방향 전환 표시를 먼저 하고 x≥−3이라고 정리했다. 숫자만 바꾼 것이 아니라 수직선, 문장, 식의 방향을 서로 오가며 같은 판단을 사용했다.

힌트 없이 다시 세운 기준

수업 끝에 별도의 표시나 질문 없이 다음 문제를 제시했다.

−4x−7<9

학생은 곧바로 “먼저 −7을 없애려고 양변에 7을 더한다. 같은 수를 더하므로 부등호는 그대로다”라고 말하고 −4x<16을 적었다. 그 다음 줄에서는 −4로 나누기 전에 부등호 위에 반대 방향 표시를 해 x>−4를 얻었다.

학생은 수직선에서 −4에 빈 동그라미를 그리고 오른쪽을 칠한 뒤, 경계값을 원래 식에 대입해 −4×(−4)−7=9임을 확인했다. 또 x=0을 넣으면 −7<9이므로 오른쪽 영역이 맞고, x=−5를 넣으면 13<9가 아니므로 제외된다고 설명했다. 양변에 같은 수를 더할 때의 기준과 음수로 나눌 때의 방향 변화를 도움 없이 처음부터 세우고, 식과 수직선이 일치하는지까지 스스로 검산한 장면이었다.

이처럼 우동중2수학과외에서는 답만 맞히는지보다 계산 전 어떤 연산을 선택했는지, 그 선택이 부등호와 수직선에 맞는지 확인하며 풀이를 이어 간다. 부산광역시립해운대도서관 인근 생활권에서 접하는 다양한 문장형 문제에서도 같은 기준을 재현하는 것이 목표다.