퇴계지구 중1수학과외

두 양의 대응관계를 식으로 다시 읽은 정비례 풀이

대룡중학교와 남춘천중학교가 포함된 생활권에서 나온 서술형 문제는 다음과 같았다.

물 1L의 무게를 1kg으로 볼 때, 물의 양을 xL, 무게를 ykg이라 하자. 물의 양과 무게가 정비례할 때 표를 완성하고, y를 x에 대한 식으로 나타내며, x=0을 포함할 수 있는지 설명하시오.

학생은 표의 첫 줄에 x=1, y=1을 적고, 다음 줄에는 x=2, y=2를 적었다. 이어 x=3에 y=3을 대응시킨 뒤 “두 수가 같은 규칙으로 커지므로 정비례”라고 썼다. 식은 y=x로 나타냈고, 좌표평면에는 (1,1), (2,2), (3,3)을 표시해 원점을 지나도록 선을 그었다. 여기까지의 계산은 맞았지만, 마지막 설명에서 “물의 양은 0L보다 클 때만 가능하므로 x=0은 정비례가 아니다”라고 결론 내렸다.

정답을 바꾼 것은 계산이 아니라 경계에 대한 판단이었다

풀이가 어긋난 최초의 순간은 x=0을 물리적인 상황에서만 판단한 부분이었다. 학생은 정비례의 관계식 y=ax에서 x와 y가 모두 0일 때도 식이 성립하는지 확인하지 않고, 실제 물의 양이라는 맥락만으로 표에서 제외했다. 이미 구한 비례상수와 식은 유지할 수 있으므로, 이 한 부분만 바로잡기로 했다.

노트의 표에 x=0, y=0을 한 줄 추가하고, 비례상수는 y÷x로 확인하되 x=0에서는 나눗셈으로 비례상수를 구하지 않는다고 표시했다. 대신 관계식 y=x에 직접 대입했다.

• x=0일 때 y=0이므로 식 y=x가 성립한다.
• x=1, 2, 3일 때 y÷x는 각각 1이다.
• 따라서 비례상수는 1이고, 정비례 관계의 그래프는 원점을 지난다.

학생은 “x=0에서는 y÷x를 계산할 수 없지만, 정비례 여부는 식과 대응관계로 확인할 수 있다”라고 문장을 고쳐 썼다. 경계값을 무조건 제외하지 않고, 그 값에서 관계식이 성립하는지를 살핀 것이다.

표가 아닌 문장과 그래프에서 같은 관계를 찾기

다음에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 표현을 바꾸었다. “한 개에 300원인 연필을 x개 살 때 총 금액을 y원이라 하자. 단, 연필은 0개부터 5개까지 살 수 있다”라는 문장을 제시하고, 표 없이 식과 그래프를 완성하게 했다.

학생은 먼저 “연필 수가 1개 늘면 금액이 300원 늘어난다”고 적었다. 이어 한 개의 가격이 일정하므로 y=300x이라고 정리하고, x의 범위를 0≤x≤5로 표시했다. 그래프에는 (0,0), (1,300), (2,600), (5,1500)을 찍었다. 무한히 이어지는 직선을 그리지 않고, 문제에서 정한 x의 범위 안에서만 관계를 나타냈다.

여기서 학생은 물의 양 문제와 연필 문제의 표현이 달라도, 두 양의 대응값을 식으로 연결하고 일정한 비례상수를 찾는 과정은 같다는 점을 풀이에 적었다. 다만 이번에는 “x가 모든 수”라고 쓰지 않고, 문장에 주어진 0부터 5까지라는 조건을 함께 기록했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

검증 단계에서는 새로운 표를 제시했다.

x	0	2	4	6
y	0	10	20	30

학생은 도움 없이 먼저 x=0, y=0을 확인하고, 0이 아닌 대응값에서 y÷x를 계산해 10이라는 비례상수를 찾았다. 따라서 식을 y=10x로 세웠다. 이어 표의 각 대응값을 식에 넣어 10×2=20, 10×4=40이 아니라 표의 y값이 각각 10, 20, 30에 대응하도록 x의 위치를 다시 읽었다. 표를 정확히 읽은 뒤 x=2이면 y=10이므로 비례상수는 5, x=4이면 y=20, x=6이면 y=30이라고 수정했고, 식을 y=5x로 확정했다.

학생은 마지막으로 “x=0에서는 나눗셈으로 상수를 구하지 않고 식에 넣어 확인한다. 2, 4, 6에서는 y÷x가 모두 5이므로 정비례이고, y=5x에 표의 값을 대입하면 모든 대응관계가 성립한다”라고 설명했다. 표의 순서를 다시 읽고 원래 조건과 식을 대조한 뒤에야 답을 마무리한 장면이었다.

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