퇴계지구 고2수학과외
누적함수의 극값은 영점의 개수가 아니라 부호 변화로 결정된다
춘천과외 수업에서 학생이 완성하지 못한 풀이를 복원하며, 피적분함수의 영점과 누적함수의 극값을 구분해 보자.
부분 풀이에서 드러난 오류
함수 \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\)가 주어졌을 때 \(F'(x)=f(x)\)이다. 따라서 \(F\)의 극값 후보는 \(f(x)=0\)인 점이다. 그러나 영점이라는 이유만으로 모두 극값이 되는 것은 아니다.
학생의 첫 풀이는 다음과 같았다.
“\(f(x)=0\)인 점을 모두 찾고, 각 점을 \(F\)의 극댓값 또는 극솟값으로 처리한다.”
이 판단에는 한 단계가 빠져 있다. \(f\)가 해당 점의 양쪽에서 같은 부호를 유지하면 \(F'=f\)의 부호도 바뀌지 않으므로 \(F\)는 그 점에서 극값을 갖지 않는다.
부호표로 풀이 복원하기
예를 들어 \(f\)의 영점이 \(x=a,b,c\)이고 부호가 다음과 같다고 하자.
| 구간 | \((-\infty,a)\) | \((a,b)\) | \((b,c)\) | \((c,\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\)의 부호 | + | - | - | + |
\(x=a\)에서는 \(+\to-\)로 바뀌므로 \(F\)는 극대이다. \(x=b\)에서는 부호가 \(-\to-\)로 유지되므로 극값이 아니다. \(x=c\)에서는 \(-\to+\)로 바뀌므로 \(F\)는 극소이다.
따라서 영점 세 개 중 누적함수의 극값을 만드는 점은 두 개뿐이다. 핵심은 영점의 개수가 아니라 전후 부호 변화이다.
변수 상한과 정의역 확인
문제가 \(F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\)처럼 제시되었다면 변수 상한 \(x\)가 움직이는 범위를 먼저 확인해야 한다. \(f\)가 특정 구간에서만 정의되었다면 \(F\) 역시 그 구간 안에서만 정의된다.
예를 들어 \(f\)가 \([0,5]\)에서 정의되었다면 \(F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\)를 실수 전체에서 정의된다고 말할 수 없다. 분석 대상도 \(0\le x\le5\)로 제한해야 한다.
최종 검증
풀이를 마친 뒤에는 다음 순서로 확인한다.
- 정의역 안에서 \(f(x)=0\)인 점을 찾는다.
- 각 영점의 좌우에서 \(f\)의 부호를 조사한다.
- \(+\to-\)이면 \(F\)의 극대, \(-\to+\)이면 극소로 판정한다.
- 부호가 바뀌지 않는 영점은 극값에서 제외한다.
이 과정을 적용하면 피적분함수 그래프만으로도 누적함수의 극대·극소 개수를 정확히 판단할 수 있다. 춘천고등학교, 춘천여자고등학교 등에서 다루는 정적분과 미분의 관계 문제에서도 같은 기준을 사용할 수 있다.