우두지구 중1수학과외

우두지구 중1수학과외에서 확인한 정비례 그래프의 경계

우두지구과외 수업에서 학생은 두 양의 관계를 표, 식, 그래프로 옮겨 해석하는 문제를 풀었다. 문제에는 물 1분에 2L씩 채워지는 상황이 제시되어 있었고, 시간과 물의 양을 나타낸 표 일부와 그래프가 함께 주어졌다.

그래프를 그리기 전 놓친 조건

학생은 표에 있는 대응값을 확인한 뒤 세로축에 물의 양, 가로축에 시간을 표시했다. 시간 1, 2, 3에 대응하는 물의 양 2, 4, 6을 점으로 찍고, 점들을 직선으로 연결했다. 이어 “물의 양은 시간에 비례하므로 이 그래프는 정비례 그래프이다”라고 적었다.

계산 과정에서 대응값을 식에 넣어 확인한 것은 맞았다. 하지만 판단이 어긋난 최초 지점은 정비례 그래프가 반드시 원점을 지나야 한다는 조건을 확인하지 않고, 몇 개의 점이 한 직선 위에 있다는 이유만으로 결론을 낸 것이었다. 제시된 그래프에는 시작할 때 이미 3L가 들어 있는 경우도 포함되어 있어, 시간 0일 때 물의 양이 3L로 표시되어 있었다.

학생의 첫 답안: “시간이 1씩 늘 때 물의 양이 2씩 늘어나므로 정비례이다.”

원점 조건을 식과 표에 다시 연결하기

교정에서는 이미 계산한 1분당 증가량 2를 버리지 않았다. 대신 물의 양을 y, 시간을 x로 정하고, 정비례라면 식이 y=2x 꼴이어야 한다고 적었다. 그런 다음 시간 0을 식에 넣었다.

y=2×0=0

그런데 문제의 표와 그래프에서는 x=0일 때 y=3이었다. 따라서 실제 관계는 y=2x+3으로 나타나며, 이 식은 정비례식 y=ax 꼴이 아니다. 그래프도 (0, 0)을 지나지 않고 (0, 3)을 지나므로 정비례 그래프가 될 수 없었다. 학생은 답안을 “대응값의 차이는 일정하지만, 원점을 지나지 않으므로 정비례가 아니다”라고 고쳐 썼다.

이때 두 양의 관계를 설명하는 문장도 함께 다듬었다. “시간이 늘면 물의 양이 늘어난다”는 말만으로는 정비례를 보장하지 않는다. “시간이 0일 때 물의 양이 0이고, 시간에 일정한 수를 곱한 값이 물의 양이 되는지 확인해야 한다”라고 근거를 한 줄로 덧붙였다.

표에서 문장과 그래프로 바꾸어 보기

다음 활동에서는 숫자 표 대신 문장으로 조건이 제시되었다. “한 개에 500원인 공책을 몇 권 사고, 준비금 1,000원을 함께 지불한다”는 상황이었다. 학생은 공책 수를 x, 전체 금액을 y로 두고 y=500x+1000이라고 표현했다. 이어 x=0일 때 y=1000임을 확인하고, 이 관계 역시 정비례가 아니라고 설명했다.

이번에는 표를 먼저 만들지 않고 그래프를 그렸다. 세로축에 전체 금액, 가로축에 공책 수를 놓고 (0, 1000), (1, 1500), (2, 2000)을 표시했다. 점들을 이은 직선이 원점 대신 y축의 1000에서 시작한다는 점을 문장으로 옮겼다. 반대로 “원점을 지나고, 공책 수가 1 늘 때 금액이 500씩 늘어난다”는 설명을 식 y=500x와 그래프로 바꾸어 정비례 관계의 조건도 나란히 비교했다.

• 원점을 지나며 y를 x로 나눈 값이 일정하면 정비례이다.
• 두 양의 차이가 일정해도 원점을 지나지 않으면 정비례라고 할 수 없다.
• 표의 한 대응값만 보지 말고 x=0일 때의 y값을 확인해야 한다.

힌트 없이 다시 세운 판단

수업 후 학생은 새로운 조건의 문제를 혼자 풀었다. “어떤 양초의 길이는 처음 18cm이고, 한 시간마다 2cm씩 짧아진다”는 문장에서 시간과 남은 길이를 각각 x, y로 정했다. 학생은 y=18-2x라고 쓴 뒤, x=0일 때 y=18이므로 그래프가 원점을 지나지 않는다고 판단했다. 또한 시간이 증가할수록 y가 감소하므로 앞의 물 채우기 관계와 방향도 다르지만, 무엇보다 정비례식 y=ax가 아니라는 점을 근거로 들었다.

학생은 표에서 x=3일 때 y=12를 식에 넣어 18-2×3=12가 되는지 확인하고, 그래프의 점 (0,18), (3,12)가 식과 맞는지도 검산했다. 이어 “원점을 지나지 않는다는 첫 조건을 먼저 확인했기 때문에, 일정한 변화량만 보고 정비례라고 하지 않았다”라고 풀이 이유를 스스로 설명했다.

대룡중학교와 남춘천중학교가 포함된 생활권에서 진행한 이 사례는 정비례 그래프를 그리는 기술보다, 표와 식과 그래프가 같은 관계를 나타내는지 차례로 확인하는 데 초점을 두었다. 우두지구중1수학과외에서도 학생이 답만 고치는 데 그치지 않고, 원점 조건과 대응값을 근거로 독립적으로 판단하도록 풀이 기록을 이어 갔다.