우두지구 고3수학과외

끝점에서 달라지는 기댓값을 따로 확인한 풀이

우두지구 생활권의 학습 상담에서 학생이 가져온 문제는 다음과 같았다. 주사위를 한 번 던져 나온 값을 X라 하고, X≥a일 때만 순이익 2X-3을 얻으며 그 밖의 경우 이익을 0으로 두었다. X는 1, 2, 3, 4 중 하나이고 모두 같은 확률을 가진다. 정수 a에 따른 순이익의 기댓값을 구하는 문제였다.

학생은 먼저 E(Y)=Σ(순이익×확률)이라는 식을 세웠다. 이어 a가 바뀌어도 같은 일반식을 적용하려고 했지만, 바로 그 지점에서 경계 검증이 필요했다. 사건은 단순히 “X가 a보다 크다”가 아니라 “X≥a”이므로, 끝점인 X=a가 사건에 포함된다.

경계에서 끊긴 사건을 다시 펼치다

최초 풀이에서 학생은 a=3일 때 사건을 X>3처럼 처리해 X=3을 빠뜨렸다. 일반적인 구간에서 사용하던 규칙을 경계값에도 그대로 옮긴 것이다. 이때 계산한 값은 0이었지만, 실제 사건은 X=3,4이므로 순이익은 각각 3, 5이다. 따라서

E(Y)=(3×1/4)+(5×1/4)=2

가 된다. 오류가 계산 중간이 아니라 사건을 복원한 첫 줄에서 시작되었음을 확인했다. 확률을 곱하는 뒤의 줄만 고쳐서는 해결되지 않는 이유도 여기에 있었다.

학생은 풀이 첫 줄 옆에 ‘사건: X≥a, 확률조건: X는 1~4에서 균등’이라고 나누어 적었다. 그리고 일반 구간과 예외 구간을 분리했다.

• a≤1이면 네 결과가 모두 사건에 포함되어 E(Y)=((−1)+1+3+5)/4=2
• a=2이면 X=2,3,4만 포함되어 E(Y)=(1+3+5)/4=9/4
• a=3이면 X=3,4만 포함되어 E(Y)=2
• a=4이면 X=4만 포함되어 E(Y)=5/4
• a≥5이면 사건이 없어 E(Y)=0

이렇게 경계 전후를 따로 계산하자, 사건의 변화와 기댓값의 변화가 한 표 안에서 보였다.

숫자가 아닌 조건으로 바꾸어 확인하기

같은 숫자만 바꾸는 대신 조건을 바꾼 문제를 제시했다. 이번에는 X가 0, 1, 2, 3 중 하나이고, X>b일 때 순이익을 3X-2, 나머지는 0으로 두었다. b=1이면 사건은 X=2,3이고, 이때 순이익은 4와 7이다.

학생은 예전처럼 경계값을 자동으로 포함하지 않고, 부등호를 먼저 읽었다. 따라서

E(Y)=(4×1/4)+(7×1/4)=11/4

라고 계산했다. 이어 b=1의 바로 왼쪽인 0.9와 오른쪽인 1.1을 대입해 사건에 들어오는 정수값이 달라지는지 확인했다. b=0.9에서는 1, 2, 3이 포함되고, b=1.1에서는 2, 3만 포함된다. 숫자를 외워 푼 것이 아니라 부등호와 표본값의 관계를 다시 판단한 것이다.

무힌트 재풀이에서 남은 판단

다음 날에는 표시해 둔 풀이를 가리고, “성공 사건의 확률이 p이고 성공 시 순이익이 r, 실패 시 순손실이 s일 때 순이익의 기댓값을 나타내라”는 문제를 풀게 했다. 학생은 먼저

E(Y)=r·p−s·(1−p)

를 세운 뒤, 성공 사건과 확률조건을 분리해 적었다. 이어 성공 확률이 0 또는 1인 경계에서도 식이 맞는지 대입했다. p=0이면 손실만 남고, p=1이면 성공 이익만 남으므로 식의 부호와 해석이 일치했다.

마지막으로 다른 풀이인 “기대수익−기대비용” 방식과 결과를 대조했다. 두 계산이 같아지는 것은 기댓값의 선형성이 원래 조건과 맞기 때문이라고 설명했다. 새 문제에서도 학생은 전체 식을 다시 계산하기보다 사건의 포함 여부가 바뀌는 경계 줄을 먼저 찾아냈다. 우두지구과외에서 확인한 이번 변화는 정답 자체보다, 끝점에서 일반 규칙을 멈추고 사건을 다시 펼치는 판단이 유지되었다는 데 있었다.