소양지구 중3수학과외

소양지구 중3수학과외에서 살펴본 표와 그래프의 대응

소양지구과외 수업에서 서술형 문제를 풀던 중, 학생은 식과 표와 그래프가 함께 제시된 이차함수 문제에서 그래프의 모양만 보고 답을 정하려 했습니다. 대룡중학교나 남춘천중학교가 포함된 생활권에서 비슷한 문제를 접하더라도 이 기준은 그대로 적용할 수 있습니다.

그래프보다 먼저 적어야 했던 한 줄

문제에는 함수 y=x²-4x+3의 일부 값과 그래프가 제시되어 있었습니다. 표에는 x가 1, 2, 3일 때 y가 각각 0, -1, 0으로 표시되어 있었고, 그래프에는 아래로 열린 듯한 곡선이 그려져 있었습니다. 질문은 “표와 그래프를 이용하여 x=2에서의 함수값과 그래프가 x축과 만나는 점을 쓰시오”였습니다.

학생은 서술형 답안에 다음과 같이 적었습니다.

“그래프가 아래로 열린 모양이므로 꼭짓점 근처의 값은 양수이다. 따라서 x=2일 때 y=1이고, x축과 만나는 점은 (1, 0), (3, 0)이다.”

그런데 학생은 그래프의 곡선 모양을 보고 부호를 단정했을 뿐, 식의 x값과 표의 y값을 먼저 맞춰 보지 않았습니다. 이때 가장 먼저 어긋난 판단은 계산 결과가 아니라 그래프의 모양만으로 식의 값을 정한 것이었습니다. 실제로 식에 x=2를 넣으면

y=2²-4×2+3=4-8+3=-1

이므로 x=2에서의 함수값은 -1입니다. 또 x=1을 넣으면 y=0, x=3을 넣어도 y=0이므로 x축과 만나는 점은 (1, 0), (3, 0)입니다. 학생의 두 교점은 우연히 맞았지만, x=2에서의 값은 틀렸습니다.

한 가지 대응 기준으로 다시 읽기

교정에서는 여러 풀이법을 추가하지 않고, 처음 판단한 행동 하나만 바꾸었습니다. 그래프의 모양을 먼저 해석하는 대신 질문에 나온 x값을 식에 넣고, 그 결과를 표와 그래프의 같은 위치에서 확인하기로 정리했습니다.

• x=2를 식에 대입한다.
• 계산한 y=-1이 표의 x=2 행과 일치하는지 본다.
• 그래프에서 x=2에 대응하는 점의 높이가 -1인지 확인한다.

이렇게 하면 식, 표, 그래프가 서로 다른 정보를 말하는 것이 아니라 같은 좌표를 세 방식으로 나타낸다는 점이 분명해집니다. 이미 맞게 구한 x=1과 x=3의 값은 그대로 두고, 그래프의 인상만으로 정했던 x=2의 값을 식과 직접 연결해 고쳤습니다.

표가 없어도 대응은 이어진다

다음 문제는 표현을 바꾸어 제시했습니다. 식은 y=-x²+2x+3이고, 그래프에는 곡선 위의 점 A와 B가 표시되어 있었습니다. A의 x좌표는 -1, B의 x좌표는 3이며, 질문은 “두 점의 y좌표를 각각 구하고 그래프에서 두 점의 위치를 설명하시오”였습니다.

이번에는 표가 없고 그래프에 점의 이름이 붙어 있어, 같은 숫자를 반복하는 문제와 다르게 구성했습니다. 학생은 먼저 A에 대해 x=-1을 식에 넣었습니다.

y=-(-1)²+2(-1)+3=-1-2+3=0

따라서 A는 (-1, 0)입니다. B는 x=3을 대입하여

y=-3²+2×3+3=-9+6+3=0

이므로 B는 (3, 0)입니다. 그래프에서 두 점이 x축 위에 표시되는 까닭도 각각의 x값에 대응하는 y값이 0이기 때문이라고 설명했습니다. 그래프의 높이를 눈대중으로 읽지 않고, 식에서 얻은 좌표와 그림 속 점의 위치를 맞춰 본 것입니다.

한 주 뒤, 힌트 없이 확인한 풀이

일주일 뒤에는 아무 기준도 미리 말하지 않고 다음 문제를 주었습니다. 함수 y=x²+2x-3의 그래프에서 x=-3인 점 P와 x=1인 점 Q를 표시하고, 두 점의 y좌표를 구하라는 문제였습니다.

학생은 먼저 “그래프가 위로 열린지”를 말하지 않았습니다. 곧바로 x=-3을 식에 넣어

y=(-3)²+2(-3)-3=9-6-3=0

이므로 P=(-3, 0)이라고 썼습니다. 이어 x=1을 대입하여

y=1²+2×1-3=0

이므로 Q=(1, 0)이라고 구했습니다. 마지막에는 두 점의 y좌표가 모두 0이므로 그래프에서 두 점이 x축 위에 있어야 한다고 설명하고, 구한 좌표를 다시 식에 대입해 두 결과가 모두 0인지 검산했습니다. 이번에는 그래프의 모양이나 예제 순서에 기대지 않고, 식의 x값과 그래프의 좌표를 스스로 대응시켰습니다.