소양지구 중2수학과외

두 점의 좌표에서 기울기를 찾는 한 줄

소양지구과외 수업에서 학생은 두 점의 좌표가 주어진 일차함수 문제를 시간 제한 안에 풀고 있었다. 다만 수업의 중심은 배경이 아니라 두 점 사이의 변화량으로 기울기를 구하는 과정이었다.

두 점의 좌표가 (2, 3), (6, 11)일 때 기울기를 구하여라.

학생은 먼저 두 점을 좌표평면에 표시했다. 첫 번째 점에는 작은 동그라미, 두 번째 점에는 네모를 붙이고, x좌표는 밑줄, y좌표는 괄호로 표시했다. 이어 공책에 6-2와 11-3을 따로 적었다. 그런데 예제 풀이의 줄 순서를 떠올리며 분자를 x의 변화량으로, 분모를 y의 변화량으로 놓았다.

학생의 첫 계산은 다음과 같았다.

기울기 = (6-2) ÷ (11-3) = 4÷8 = 1/2

계산 자체는 정확했지만, 결과가 그래프에서 보이는 모습과 맞지 않았다. x가 4만큼 오른쪽으로 움직일 때 y는 8만큼 위로 올라가므로, 한 칸 오른쪽으로 갈 때 y가 얼마나 변하는지를 나타내려면 y의 변화량을 x의 변화량으로 나누어야 했다. 결과가 틀렸다는 사실보다 먼저 고쳐야 할 부분은 변화량을 분수의 어느 자리에 놓을지 선택한 판단이었다.

변화량의 기준을 하나로 고정하다

교사는 이미 맞게 표시한 좌표와 뺄셈은 그대로 두고, 학생에게 “오른쪽으로 움직인 양을 기준으로 높이가 얼마나 달라졌는가?”라고 물었다. 학생은 두 점을 연결한 선분을 손가락으로 따라가며 먼저 가로 방향으로 4, 세로 방향으로 8이라고 말했다. 그리고 공책의 식을 다음처럼 고쳐 썼다.

x의 변화량 = 6-2 = 4
y의 변화량 = 11-3 = 8
기울기 = y의 변화량 ÷ x의 변화량 = 8÷4 = 2

이때 새로운 풀이법을 덧붙이지 않고, 두 점의 좌표를 각각 읽고 변화량을 계산했던 과정은 유지했다. 학생은 기울기를 구하기 전 식 옆에 ‘세로 변화량 ÷ 가로 변화량’이라고 짧게 적어 기준을 남겼다. 이어 두 점을 식에 대입해 보았다. x가 2에서 6으로 4 증가할 때 y가 3에서 11로 8 증가하므로, 가로 1만큼의 변화에 세로 변화는 2라는 설명도 직접 완성했다.

그래프를 식으로 바꾸어 다시 확인한 장면

다음 문제는 좌표 두 개가 직접 제시되지 않았다. 그래프 위에 직선이 그려져 있고, 직선이 지나는 점으로 (−1, 4)와 (3, −4)가 표시되어 있었다. 질문도 “기울기를 구하여라”가 아니라 “이 직선의 식에서 x의 계수는 무엇인가?”로 바뀌었다.

학생은 먼저 두 점의 순서를 그래프에 표시한 뒤, x가 −1에서 3으로 변하므로 가로 변화량을 3−(−1)=4로 적었다. y는 4에서 −4로 내려가므로 세로 변화량을 −4−4=−8로 적었다. 부호가 섞인 부분에는 동그라미를 치고, 빼기 앞의 괄호를 빠뜨리지 않았다.

기울기 = −8÷4 = −2

이번에는 질문의 방향이 달랐지만 학생은 그래프를 보고 곧바로 식을 추측하지 않았다. 먼저 가로 변화량과 세로 변화량을 분리한 뒤 세로를 가로로 나누었다. 따라서 직선의 식에서 x의 계수도 −2라고 판단했다. 교사는 특정 숫자를 외우는 대신, 좌표가 바뀌어도 같은 순서로 판단했는지 확인했다.

• x좌표끼리 비교해 가로 변화량을 구한다.
• y좌표끼리 비교해 세로 변화량을 구한다.
• 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈다.
• 그래프에서 올라가는지 내려가는지 부호를 확인한다.

힌트 없이 남은 문제를 검산하다

소양지구중2수학과외 수업의 다음 확인 문제에서 학생은 도움 없이 두 점 (5, −2), (1, 6)을 읽었다. 잠시 멈춘 뒤 공책 위쪽에 ‘가로를 기준, 세로를 비교’라고 쓰고, 어느 점에서 시작할지는 두 변화량에서 같은 순서를 사용하면 된다고 설명했다.

학생의 기록은 x 변화량 1−5=−4, y 변화량 6−(−2)=8이었다. 따라서 기울기를 8÷(−4)=−2로 구했다. 검산을 위해 x가 1에서 5로 4 증가할 때 y가 6에서 −2로 8 감소하므로, 가로 1 증가마다 y가 2씩 내려간다고 다시 말해 보았다.

학생은 마지막에 “분모는 외운 숫자가 아니라 x의 변화량이고, 분자는 y의 변화량이다. 두 점을 어느 순서로 읽든 분자와 분모의 순서를 함께 맞추면 된다”고 설명했다. 그래프에서 내려가는 방향과 음의 기울기도 대조했으므로, 단순히 답을 맞힌 것이 아니라 두 점에서 기울기를 정하는 첫 판단을 스스로 재현한 것으로 확인했다.